[论文解读] A Dichotomy for 1-Planarity with Restricted Crossing Types Parameterized by Treewidth

Franz J. Brandenburg, Dobler, Alexander+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 27被引用 16

一句话总结

本文建立了1-可平面图与4-地图图（含无孔及有孔情形）之间的一一对应关系，证明了在交叉边增强、完全三角剖分及最大1-可平面图的结构约束下，1-可平面性可在多项式时间内识别，时间复杂度分别为O(n^120)、O(n^3)和O(n^5)。主要贡献在于提出了一种新颖的表征方法，将1-可平面图与地图图关联，并在结构约束下实现了高效的识别算法。

ABSTRACT

A drawing of a graph is 1-planar if each edge participates in at most one crossing and adjacent edges do not cross. Up to symmetry, each crossing in a 1-planar drawing belongs to one out of six possible crossing types, where a type characterizes the subgraph induced by the four vertices of the crossing edges. Each of the 63 possible nonempty subsets 𝒮 of crossing types gives a recognition problem: does a given graph admit an 𝒮-restricted drawing, that is, a 1-planar drawing where the crossing type of each crossing is in 𝒮? We show that there is a set 𝒮_bad with three crossing types and the following properties: - If 𝒮 contains no crossing type from 𝒮_bad, then the recognition of graphs that admit an 𝒮-restricted drawing is fixed-parameter tractable with respect to the treewidth of the input graph. - If 𝒮 contains any crossing type from 𝒮_bad, then it is NP-hard to decide whether a graph has an 𝒮-restricted drawing, even when considering graphs of constant pathwidth. We also extend this characterization of crossing types to 1-planar straight-line drawings and show the same complexity behaviour parameterized by treewidth.

研究动机与目标

• 建立1-可平面图与4-地图图之间的一一对应关系，包括无孔变体。
• 研究在最大性与三角剖分等结构约束下的1-可平面图识别复杂度。
• 将现有1-可平面旋转系统识别算法扩展至交叉边增强的1-可平面图。
• 解决1-可平面图与地图图识别问题中的开放问题，特别是多项式时间可解性。
• 确定最大或最优1-可平面图在弱同构意义下是否具有唯一嵌入。

提出的方法

• 将4-地图图表征为交叉边增强的1-可平面图，且无孔4-地图图等价于完全三角剖分的1-可平面图。
• 利用Chen等人[18]提出的无孔4-地图图识别算法，推导出完全三角剖分与最大1-可平面图的时间复杂度界限。
• 通过基于桥的路径检测机制，将Eades等人[23]的线性时间1-可平面旋转系统测试方法适配至交叉边增强的1-可平面图。
• 利用SPQR树分解，在线性时间内测试外1-可平面图及相关类别的平面最大性与最大性。
• 应用SPQR树结构验证外1-可平面性、交叉边增强性及弱三角剖分性等性质。
• 将1-可平面图中的平面最大性问题归约为通过SPQR分解在分离对处检查连通分量。

实验结果

研究问题

• RQ1 1-可平面图能否被表征为4-地图图或无孔4-地图图？
• RQ2 在交叉边增强、完全三角剖分或最大性等结构约束下，1-可平面图的识别是否为多项式时间可解？
• RQ3 Eades等人提出的1-可平面旋转系统测试方法能否推广至交叉边增强的1-可平面图？
• RQ4 最大或最优1-可平面图在弱同构意义下是否具有唯一嵌入？
• RQ5 广义地图图（如含嵌套区域者）的识别问题是否仍为多项式时间可解？

主要发现

• 在1-可平面图与4-地图图之间建立了严格的一一对应关系，涵盖一般情形与无孔变体。
• 完全三角剖分的1-可平面图等价于无孔4-地图图，其识别可在O(n^3)时间内完成。
• 最大1-可平面图可通过Chen等人[18]的算法在O(n^5)时间内识别。
• 交叉边增强的1-可平面图可在O(n^120)时间内识别，其复杂度与无孔4-地图图识别算法一致。
• 开发了一种线性时间算法，用于测试交叉边增强1-可平面图的旋转系统1-可平面性。
• 利用SPQR树分解，外1-可平面图及其相关性质（如最大性、最优性）的识别可在线性时间内完成。