[论文解读] A Dichotomy for Succinct Representations of Homomorphisms

Christoph Berkholz, Harry Vinall-Smeeth|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2022

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 2

一句话总结

本文建立了有限关系结构之间同态的简洁d-表示的二分法，证明对于具有有界极小度的结构类，存在多项式大小的d-表示当且仅当左侧结构具有有界树宽。主要贡献是通过一种新颖的约化框架和对k-团同态的近乎最优下界，建立了当树宽无界时表示大小为超多项式的紧下界。

ABSTRACT

The task of computing homomorphisms between two finite relational structures $\mathcal{A}$ and $\mathcal{B}$ is a well-studied question with numerous applications. Since the set $\operatorname{Hom}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ of all homomorphisms may be very large having a method of representing it in a succinct way, especially one which enables us to perform efficient enumeration and counting, could be extremely useful. One simple yet powerful way of doing so is to decompose $\operatorname{Hom}(\mathcal{A},\mathcal{B})$ using union and Cartesian product. Such data structures, called d-representations, have been introduced by Olteanu and Zavodny in the context of database theory. Their results also imply that if the treewidth of the left-hand side structure $\mathcal{A}$ is bounded, then a d-representation of polynomial size can be found in polynomial time. We show that for structures of bounded arity this is optimal: if the treewidth is unbounded then there are instances where the size of any d-representation is superpolynomial. Along the way we develop tools for proving lower bounds on the size of d-representations, in particular we define a notion of reduction suitable for this context and prove an almost tight lower bound on the size of d-representations of all $k$-cliques in a graph.

研究动机与目标

• 刻画从结构A到B的同态集合何时可被紧凑的、多项式大小的d-表示所表示。
• 解决以支持高效枚举和计数的方式表示Hom(A, B)的复杂性问题。
• 基于树宽和极小度，建立d-表示在可解与不可解情况之间的紧二分法。
• 开发d-表示的新下界技术，特别是利用约化和k-团构造。

提出的方法

• 引入d-表示作为使用并集(∪)和笛卡尔积(×)的电路，以紧凑方式编码Hom(A, B)。
• 定义确定性d-表示，其中∪-门组合不相交集合，从而支持高效计数和枚举。
• 提出一种针对d-表示大小量身定制的新约化概念，基于极小关系和近乎极小关系。
• 证明了k-团同态d-表示的近乎紧下界Ω(m^{(k+2)/4r} / log^{3k+2}/2r(m))。
• 利用排除网格定理和极小理论论证，将树宽与表示复杂度联系起来。
• 应用图类层次结构(Gid, Gk, K_{(k+2)/2})，将来自团的下界传递到一般结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 从A到B的同态集合何时可被多项式大小的d-表示所表示？
• RQ2 左侧结构A的有界树宽是否为多项式大小d-表示的必要且充分条件？
• RQ3 当树宽无界时，d-表示大小的精确下界是什么？
• RQ4 k-团同态问题能否作为在此设定下证明下界的完备问题？
• RQ5 极小关系和近乎极小关系如何与d-表示的大小相关？

主要发现

• 对于具有有界极小度的结构类，Hom(A, B)存在多项式大小的d-表示当且仅当A具有有界树宽。
• 当树宽无界时，任何Hom(A, B)的d-表示都必须是超多项式大小，即使对于非确定性表示也是如此。
• 本文为k-团同态的d-表示建立了Ω(m^{(k+2)/4r} / log^{3k+2}/2r(m))的下界，几乎匹配已知的上界。
• 证明引入了一种基于近乎极小关系的新约化框架，表明若G是H的近乎极小，则G的下界可传递至H。
• k-团表示的下界几乎紧致，仅在对数因子上存在微小差距。
• 结果表明，在有界极小度情形下，有界树宽是对简洁d-表示的最优条件，从而填补了关键的复杂性空白。