[论文解读] A diffuse interface model for two-phase incompressible flows with nonlocal interactions and nonconstant mobility

Sergio Frigeri, Maurizio Grasselli+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 2013

Solidification and crystal growth phenomena被引用 8

一句话总结

本文建立了具有非局部 Cahn-Hilliard 动力学、非恒定迁移率以及奇异或多项式势能的两相不可压缩流体非局部扩散界面模型的全局弱解与全局吸引子的存在性。该分析涵盖了二维和三维中非退化与退化迁移率的情形，通过能量估计与紧致性论证，证明了耦合的 Navier-Stokes 与非局部 Cahn-Hilliard 系统的解的存在性及长期行为结果。

ABSTRACT

We consider a diffuse interface model for incompressible isothermal mixtures of two immiscible fluids with matched constant densities. This model consists of the Navier-Stokes system coupled with a convective nonlocal Cahn-Hilliard equation with non-constant mobility. We first prove the existence of a global weak solution in the case of non-degenerate mobilities and regular potentials of polynomial growth. Then we extend the result to degenerate mobilities and singular (e.g. logarithmic) potentials. In the latter case we also establish the existence of the global attractor in dimension two. Using a similar technique, we show that there is a global attractor for the convective nonlocal Cahn-Hilliard equation with degenerate mobility and singular potential in dimension three.

研究动机与目标

• 建立具有非局部 Cahn-Hilliard 动力学和非恒定迁移率的两相不可压缩流体扩散界面模型的全局弱解的存在性。
• 将存在性结果扩展至退化迁移率和物理上相关的奇异（对数型）势能情形。
• 在二维情况下证明具有奇异势能的系统的全局吸引子存在，以确保长期稳定性和收敛性。
• 将全局吸引子结果扩展至三维中具有退化迁移率的对流非局部 Cahn-Hilliard 方程。
• 解决由于非局部相互作用导致 ϕ 的正则性较差的问题，这使得 Navier-Stokes 系统中 Korteweg 力的分析变得复杂。

提出的方法

• 构建一个将 Navier-Stokes 方程与具有非恒定迁移率的对流非局部 Cahn-Hilliard 方程耦合的扩散界面模型。
• 利用能量估计与弱公式推导浓度 ϕ 和化学势 µ 的先验界。
• 应用紧致性与单调性论证，通过 Galerkin 近似证明弱解的存在性。
• 采用涉及 Λ(s) = ∫₀ˢ m(σ)F′′(σ)dσ 的非线性变换以处理退化迁移率与奇异势能。
• 利用 Gronwall 引理与能量恒等式，在适当假设下证明弱解的唯一性。
• 将先前局部模型研究中的论证方法适配至非局部情形，利用非局部算子 (J∗ϕ) 与核函数 a(x) = ∫Ω J(x−y)dy 的结构特征。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有非恒定迁移率和奇异势能的非局部 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 系统建立全局弱解？
• RQ2 当势能为对数型且迁移率为退化时，该系统在二维情况下是否具有全局吸引子？
• RQ3 当迁移率在纯相处退化时，解的正则性与长期行为特性如何？
• RQ4 与局部情形相比，非局部相互作用项如何影响弱解的存在性与唯一性？
• RQ5 能否在三维中证明具有退化迁移率的非局部 Cahn-Hilliard 方程的全局吸引子？

主要发现

• 对于具有非退化迁移率和任意多项式增长的正则势能的非局部 Cahn-Hilliard-Navier-Stokes 系统，全局弱解存在。
• 在二维情况下，对于具有退化迁移率和奇异（对数型）势能的系统，已建立全局吸引子的存在性。
• 对于具有退化迁移率和奇异势能的对流非局部 Cahn-Hilliard 方程，其在三维情况下存在全局吸引子。
• 在二维情况下，对于正则与奇异势能，在适当的迁移率与势能假设下，弱解的唯一性已得证。
• 推导出近似解的能量恒等式，确保质量守恒与自由能耗散。
• 证明了全局吸引子是连通的，扩展了此前在非局部与退化情形下关于吸引子结构的研究结果。