[论文解读] A diffusive logistic problem with a free boundary in time-periodic environment: favorable habitat or unfavorable habitat

Qiaoling Chen, Fengquan Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2014

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 20被引用 4

一句话总结

本文研究了在时变环境中具有自由边界的扩散逻辑斯蒂方程，分析了入侵物种的扩散与消失动力学。通过主特征值准则建立了扩散-消失二分法：若主特征值 $\lambda_1(d,\alpha,\gamma,h_0,T) \leq 0$，则发生扩散；否则，扩散可能发生。渐近扩散速度由涉及扩散率和种群参数的导出函数的时间平均值决定。

ABSTRACT

We study the diffusive logistic equation with a free boundary in timeperiodic environment. To understand the effect of the dispersal rate $d$, the original habitat radius $h_0$, the spreading capability $μ$, and the initial density $u_0$ on the dynamics of the problem, we divide the time-periodic habitat into two cases: favorable habitat and unfavorable habitat. By choosing $d$, $h_0$, $μ$ and $u_0$ as variable parameters, we obtain a spreading-vanishing dichotomy and sharp criteria for the spreading and vanishing in time-periodic environment. We introduce the principal eigenvalue $λ_1(d, α, γ, h(t), T)$ to determine the spreading and vanishing of the invasive species. We prove that if $λ_1(d, α, γ, h_0, T)\leq 0$, the spreading must happen; while if $λ_1(d, α, γ, h_0, T)> 0$, the spreading is also possible. Our results show that the species in the favorable habitat can establish itself if the dispersal rate is slow or the occupying habitat is large. In an unfavorable habitat, the species vanishes if the initial density of the species is small, while survive successfully if the initial value is big. Moreover, when spreading occurs, the asymptotic spreading speed of the free boundary is determined.

研究动机与目标

• 理解扩散率 $d$、初始栖息地大小 $h_0$、扩散能力 $\mu$ 和初始密度 $u_0$ 如何影响物种在时变环境中的持久性。
• 基于时变系数 $\alpha(t,r)$、$\gamma(t,r)$ 和 $\beta(t,r)$ 对栖息地进行有利或不利的分类。
• 建立扩散-消失二分法，并推导长期物种生存或灭绝的精确准则。
• 确定扩散发生时自由边界的渐近扩散速度。
• 引入并分析主特征值 $\lambda_1(d,\alpha,\gamma,h_0,T)$ 作为物种命运的关键决定因素。

提出的方法

• 在径向对称下，为具有时变系数的扩散逻辑斯蒂方程构建自由边界问题。
• 使用主特征值 $\lambda_1(d,\alpha,\gamma,h_0,T)$ 对扩散和消失行为进行分类。
• 应用上下解方法和比较原理来界定解和自由边界 $h(t)$。
• 通过时变稳态近似构造上下解，以估计长期扩散速度。
• 使用类似斯蒂芬（Stefan）的自由边界条件 $h'(t) = -\mu u_r(t,h(t))$ 来模拟种群驱动的前缘扩展。
• 通过周期性和渐近收敛到时变周期性轮廓分析长期行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有自由边界的时变环境中，物种在何种条件下发生扩散或消失？
• RQ2 主特征值 $\lambda_1(d,\alpha,\gamma,h_0,T)$ 如何决定扩散-消失二分法？
• RQ3 当扩散发生时，自由边界的渐近扩散速度是多少？
• RQ4 参数 $d$、$h_0$、$\mu$ 和 $u_0$ 如何影响物种的长期生存？
• RQ5 初始种群密度 $u_0$ 在决定不利栖息地中物种持久性方面起什么作用？

主要发现

• 若 $\lambda_1(d,\alpha,\gamma,h_0,T) \leq 0$，则无论初始条件如何，扩散均被保证发生。
• 当 $\lambda_1(d,\alpha,\gamma,h_0,T) > 0$ 时，仅当初始种群密度 $u_0$ 足够大时，扩散才可能发生。
• 在有利栖息地中，若扩散率 $d$ 较小或初始栖息地大小 $h_0$ 较大，物种可成功建立。
• 在不利栖息地中，若 $u_0$ 较小则物种消失，但若 $u_0$ 较大则可存活。
• 当扩散发生时，自由边界的渐近扩散速度满足 $\lim_{t\to\infty} \frac{h(t)}{t} = \frac{1}{T}\int_0^T k_0(\mu,\breve{\eta},\breve{\beta})(t) dt$，其中 $\breve{\eta}$ 和 $\breve{\beta}$ 分别为 $\alpha - \gamma$ 和 $\beta$ 在无穷远处的空间极限。
• 扩散速度由基于主特征值和解轮廓导出的时平均函数所界定，上下界均成立。