[论文解读] A Diophantine inequality involving different powers of primes of the form $[n^c]$

S. I. Dimitrov|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2026

Analytic Number Theory Research被引用 0

一句话总结

本文证明对于某些无理比和参数，存在无穷多组三元 Piatetski-Shapiro 素数 p1, p2, p3 其中 p_i = [n_i^{1/γ}]，满足含线性组合 p1、p2 与 p3^4 的不含整整数解的丢番图不等式。

ABSTRACT

Let $[\, x\,]$ denote the integer part of a real number $x$. Assume that $λ_1,λ_2,λ_3$ are nonzero real numbers, not all of the same sign, that $λ_1/λ_2$ is irrational, and that $η$ is real. Let $\frac{219}{220}<γ<1$ and $θ>0$. We establish that, there exist infinitely many triples of primes $p_1,\, p_2,\, p_3$ satisfying the inequality \begin{equation*} |λ_1p_1 + λ_2p_2 + λ_3p^4_3+η|<\big(\max \{p_1, p_2, p^4_3\}\big)^{\frac{219-220γ}{208}+θ} \end{equation*} and such that $p_i=[n_i^{1/γ}]$, $i=1,\,2,\,3$.

研究动机与目标

• 研究三素数变量的丢番图不等式的可解性，其中 p3 的四次方被提升，p1、p2 为 γ 类型的 Piatetski-Shapiro 素数。
• 表明存在无穷多组三元组 p1, p2, p3，满足 p_i = [n_i^{1/γ}]，并且对线性型 λ1 p1 + λ2 p2 + λ3 p3^4 + η 具有紧致逼近。
• 在混合幂次的丢番图不等式背景下，将 k=1,2,3 的先前结果推广到 k=4 的情形。

提出的方法

• 使用圆法研究含 Piatetski-Shapiro 型素数的不等式。
• 发展并估计在 p = [n^{1/γ}] 与 p^4 形式下的指数和 S_k(t)，包括 S_1、S_4 以及辅助和。
• 将主积分 Γ(X) 分解为三部分 Γ1(X)、Γ2(X)、Γ3(X)，并为每一部分获得下界/上界。
• 应用关于平滑权函数、Piatetski-Shapiro 素数分布及指数和均值界的辅助引理。
• 推导下界 Γ(X) ≫ ε X^{5/4}，以推断符合条件的素数三元组的无穷性。

实验结果

研究问题

• RQ1 不等式 |λ1 p1 + λ2 p2 + λ3 p3^4 + η| < (max{p1, p2, p3^4})^{(219 − 220 γ)/208 + θ} 是否能对无限多个 Piatetski-Shapiro 素数 p1、p2、p3（p_i = [n_i^{1/γ}]）求解？
• RQ2 当 p3 的四次方被提升时，γ 的取值范围（接近 1）和 θ 如何使上述不等式有无限多个素数解？
• RQ3 在圆法框架内，Piatetski-Shapiro 素数上指数和的估计如何扩展到混合幂次情形 k=4？
• RQ4 Γ(X) 的分解中有效的误差项与主项贡献有哪些，确保下界增长？
• RQ5 关于平滑 theta 函数及均值估计的辅助引理如何帮助控制主弧/次弧的贡献？

主要发现

• 存在无穷多个有序的 γ 型 Piatetski-Shapiro 素数三元组 p1, p2, p3，其中 γ ∈ (219/220, 1)，满足所述的丢番图不等式。
• 误差项的界限明确给出 ε = X^{(219−220γ)/208 + θ}，且整体下界 Γ(X) 与 ε X^{5/4} 成长。
• 主要下界贡献 Γ1(X) 被证明为 ≫ ε X^{5/4}，在处理主弧/次弧及平滑化后得到。
• Γ2(X) 与 Γ3(X) 的上界推导出，Γ2(X) ≪ X^{(479−220γ)/208 + δ}，Γ3(X) ≪ 1，确保主项来自 Γ1(X)。
• 该方法将先前的 k=1,2,3 结果推广至 Piatetski-Shapiro 素数在混合幂不等式中的 k=4 情形。
• 结果确认在给定 γ 区间内，混合幂的 Piatetski-Shapiro 设置中可解的情形。