[论文解读] A Direct Construction of Complete Complementary Codes With Arbitrary Lengths.

Palash Sarkar, Zilong Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2021

Coding theory and cryptography被引用 5

一句话总结

本文提出了一种针对任意长度 $\prod_{i=1}^k p_i^{m_i}$ 的完整互补码（CCCs）的直接构造方法，其中 $p_i$ 为素数，$m_i$ 为正整数。通过多变量函数，该方法推广了现有构造方法，包括Golay-Davis-Jedwab序列和2的幂次CCC，实现了对任意长度的灵活、系统化的CCC生成。

ABSTRACT

This paper is focused on efficient design of complete complementary codes (CCCs) which have found wide applications in coding, signal processing and wireless communication due to their zero auto- and cross-correlation sum properties. A major motivation of this research is that the existing state-of-the-art can generate CCCs with certain lengths only and therefore may not meet the diverse requirements in practice. We introduce a new tool called multivariable functions and propose a direct construction of CCCs with any extit{arbitrary} lengths in the form $\prod_{i=1}^k p_i^{m_i}$, where $k$ is a positive integer, $p_1,p_2,\hdots,p_k$ are prime numbers and $m_1,m_2,\hdots,m_k$ are positive integers whose sum is not less than 1. For $k=1$ and $p_1=2$, our proposed generator reduces to the exact Golay-Davis-Jedwab (GDJ) sequence generator as a special case. For $k>1$ and $p_1=p_2=\cdots=p_k=2$, it gives rise to the conventional CCCs with power-of-two lengths which are obtained from generalized Boolean functions.

研究动机与目标

• 解决现有CCC构造方法受限于特定长度（如2的幂次或特定素数幂次）的局限性。
• 开发一种系统化且直接的方法，用于生成满足无线通信和信号处理中多样化实际需求的任意长度完整互补码。
• 将已知构造方法（包括Golay-Davis-Jedwab序列和基于广义布尔函数的CCC）统一到一个框架中。

提出的方法

• 作者引入多变量函数作为新的数学工具，用于参数化和构造完整互补码。
• 该构造基于乘积形式 $\prod_{i=1}^k p_i^{m_i}$，其中 $k \geq 1$，$p_i$ 为素数，$m_i$ 为正整数且总和至少为1。
• 当 $k=1$ 且 $p_1=2$ 时，生成器恰好还原为Golay-Davis-Jedwab序列生成器，验证了与已有结果的一致性。
• 当 $k>1$ 且所有 $p_i=2$ 时，该方法通过广义布尔函数恢复了传统的2的幂次长度的CCC。
• 该构造是直接且系统化的，避免了递归或迭代过程，从而实现了高效的码生成。
• 该方法确保了零自相关和互相关和特性，保持了CCC的关键优势。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在标准的2的幂次或素数幂次限制之外，为任意长度构造完整互补码？
• RQ2 如何构建一个统一框架，以推广包括Golay-Davis-Jedwab序列和基于广义布尔函数的序列在内的现有CCC构造方法？
• RQ3 何种数学结构使得在任意合数长度上能够实现直接、非递归的CCC构造？
• RQ4 所提出的多变量函数框架在多大程度上保持了CCC应用中至关重要的零相关特性？
• RQ5 所提出的方法是否与已知的CCC构造后向兼容，例如2的幂次长度的构造？

主要发现

• 所提出的方法可直接构造任意形如 $\prod_{i=1}^k p_i^{m_i}$ 的完整互补码，其中 $p_i$ 为素数，$m_i$ 为正整数。
• 当 $k=1$ 且 $p_1=2$ 时，生成器恰好还原为Golay-Davis-Jedwab序列生成器，确认了与已有结果的一致性。
• 当 $k>1$ 且所有 $p_i=2$ 时，该方法重现了通过广义布尔函数导出的传统2的幂次长度的完整互补码。
• 该构造是系统化且直接的，避免了递归或迭代生成，从而提升了计算效率。
• 该方法保持了零自相关和互相关和特性，确保码在无线通信和信号处理应用中依然适用。
• 多变量函数的使用提供了一个灵活且通用的框架，将此前独立的构造方法统一于单一数学模型之下。