[论文解读] A direct method for doubly nonlinear equations via convexification in spaces of measures and duality

Alessandro Pinzi, Filippo Riva+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2026

Control and Stability of Dynamical Systems被引用 0

一句话总结

该论文通过在度量空间中对问题进行凸化并应用对偶性，提出一种直接的、全局时间的变分方法来证明双非线性方程的解的存在，避免时间离散化。

ABSTRACT

Existence of solutions to doubly nonlinear equations in reflexive Banach spaces is established by resorting to a global-in-time variational approach inspired by De Giorgi's principle, which characterizes the associated flows as null-minimizers of a suitable energy-dissipation functional defined on trajectories. In contrast to the celebrated minimizing movements scheme, the proposed strategy does not rely on any time-discretization or iterative constructions. Instead, it provides a direct method based on the relaxation of the problem in spaces of measures, constrained by the continuity equation: in this procedure, no gap is introduced due to the Ambrosio's superposition principle. Within this weak convex framework, the validity of the null-minimization property is recovered through two further steps. First, a careful application of the Von Neumann minimax theorem yields an identification of the dual problem as a supremum over the set of smooth and bounded cylinder functions, solving an Hamilton-Jacobi-type inequality. Secondly, a suitable "backward boundedness" property of solutions to such Hamilton-Jacobi system gives a proper bound of the dual problem, ensuring that the minimum value of the original functional is actually zero. The proposed strategy naturally extends to non-autonomous equations, encompassing time- and space-dependent dissipation potentials and time-dependent potential energies.

研究动机与目标

• 在不假设能量函数 φ 为凸的前提下，激发并解决双非线性微分包含的解的存在性问题。
• 引入基于 De Giorgi 框架的全局时间变分原理。
• 在受连续性方程约束的测度空间中建立放宽（relaxation）。
• 通过对偶性中的极小极大对偶性，识别对偶问题中的一个希尔bert– jacobi 型不等式。
• 将该方法扩展到具有时间与状态相关数据的非自治问题。

提出的方法

• 通过连续性方程约束，将 De Giorgi 泛函放宽到测度空间。
• 利用叠加原理将测度解与曲线解联系起来。
• 通过 Von Neumann 极小极大定理建立对偶问题，并推导出希尔伯特–雅可比不等式。
• 证明对偶问题的向后有界性（比较原理），使对偶值被约束为零。
• 将框架扩展到具有时间和空间依赖的耗散与能量。

实验结果

研究问题

• RQ1 可以在能量 φ 未假设凸性的情况下建立双非线性方程的解的存在性吗？
• RQ2 直接的、全局时间变分方法（非时间离散化）能否给出 De Giorgi 泛函的零极小量解？
• RQ3 在测度空间的放宽与对偶性中，如何识别支配对偶问题的希尔伯特–雅可比不等式？
• RQ4 对于对偶希尔伯特–雅可比系统，是否存在向后有界性/比较原理以将对偶问题约束为零？
• RQ5 该方法能否扩展到具有时间和状态相关耗散与能量的非自治问题？

主要发现

• 通过测度空间凸化的直接法在双非线性设定下取得 De Giorgi 泛函的零极小量存在性。
• 对偶问题通过极小极大形式确立，并以一个希尔伯特–雅可比不等式作为约束出现。
• 向后有界性（比较原理）确保对偶问题被约束为零，从而闭合论证。
• 该框架自然扩展到具有时间与空间依赖的耗散与能量的非自治方程。