[论文解读] A Discontinuous Galerkin Method for General Relativistic Hydrodynamics in thornado

Samuel Dunham, Eirik Endeve+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2020

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 55被引用 3

一句话总结

本文提出了一种在 thornado 框架下基于时空的 3+1 共形平坦近似的一般相对论流体动力学（GRHD）高阶不连续伽辽金（DG）求解器。该方法能够准确且稳健地模拟激波动力学，首次在 2D GRHD 中成功再现了驻立吸积激波不稳定性（SASI），结果与先前研究定性一致，并在相对论条件下表现出强劲性能。

ABSTRACT

Discontinuous Galerkin (DG) methods provide a means to obtain high-order accurate solutions in regions of smooth fluid flow while, with the aid of limiters, still resolving strong shocks. These and other properties make DG methods attractive for solving problems involving hydrodynamics; e.g., the core-collapse supernova problem. With that in mind we are developing a DG solver for the general relativistic, ideal hydrodynamics equations under a 3+1 decomposition of spacetime, assuming a conformally-flat approximation to general relativity. With the aid of limiters we verify the accuracy and robustness of our code with several difficult test-problems: a special relativistic Kelvin--Helmholtz instability problem, a two-dimensional special relativistic Riemann problem, and a one- and two-dimensional general relativistic standing accretion shock (SAS) problem. We find good agreement with published results, where available. We also establish sufficient resolution for the 1D SAS problem and find encouraging results regarding the standing accretion shock instability (SASI) in 2D.

研究动机与目标

• 在 thornado 计算框架中开发一种高阶、不连续伽辽金（DG）求解器，用于一般相对论流体动力学（GRHD）。
• 在一般相对论条件下，实现对核心坍缩超新星（CCSN）动力学，特别是激波特性和演化过程的准确且稳定模拟。
• 在具有挑战性的相对论流体动力学问题（包括激波特性和强引力区域）上测试求解器的准确性和鲁棒性。
• 为未来包含 GRHD、中微子输运和自适应网格细化（AMR）的 3D CCSN 模拟建立基础。
• 利用高阶 DG 方法研究广义相对论对驻立吸积激波不稳定性（SASI）的影响。

提出的方法

• 求解器采用时空的 3+1 分解和共形平坦近似（CFA），以简化 GRHD 的爱因斯坦场方程。
• 在瓦列萨（Valencia）形式下，使用高阶精度的不连续伽辽金（DG）有限元方法求解 GRHD 方程，采用紧凑模板。
• 通过通量和源项的弱形式演化保守变量（D, Sj, τ），利用 Rusanov 通量和斜率限制进行激波分辨率的重构。
• 该方法结合了 hp 自适应性，并通过 AMReX 框架使用 MPI 实现并行化，以支持自适应网格细化（AMR）。
• 通过牛顿-拉夫森根求解方法从保守变量重构原始变量，并应用限制器以在激波区域保持稳定性。
• 通过特殊相对论下的凯尔文-赫姆霍兹、黎曼问题以及一般相对论下的驻立吸积激波（SAS）问题等测试问题对代码进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 高阶不连续伽辽金方法在一般相对论区域中，对强激波和复杂流体动力学的解析精度如何？
• RQ2 广义相对论在多大程度上影响 2D 模拟中驻立吸积激波不稳定性（SASI）的发展和形态？
• RQ3 thornado DG 求解器在受到扰动时能否保持稳态激波剖面，同时维持高阶精度？
• RQ4 与牛顿近似相比，时空曲率和流体洛伦兹因子等相对论效应如何影响激波特性的演化？
• RQ5 在多维 GRHD 模拟中，DG 求解器在 MPI 和 AMR 支持下的性能和可扩展性如何？

主要发现

• DG 求解器在高精度下成功再现了 1D 驻立吸积激波（SAS）问题，即使在过密壳层扰动下也能保持稳态激波剖面。
• 该代码首次在一般相对论流体动力学中准确捕捉到 2D 驻立吸积激波不稳定性（SASI），结果与已发表研究定性一致。
• 模拟表明，相对论效应——表现为内边界处度规函数 α 与 1 存在 10% 的偏差——显著影响激波特性和流体速度。
• 洛伦兹因子 W 和比焓 h 明显偏离 1，证实系统处于强相对论区域，涵盖时空曲率和流体运动的强相对论效应。
• 多态常数（熵的代理量）在 2D 中动态演化，随时间明显表现出激波向南北极方向的振荡，与 SASI 的发展一致。
• 该实现通过 MPI 和 AMReX 展现出良好的鲁棒性和可扩展性，为未来将 3D CCSN 模拟迁移到 GPU 加速提供了良好前景。