[论文解读] A Discrete Morse Theory for Hypergraphs

Shiquan Ren, Chong Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2018

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文将离散莫射理论从单纯复形推广至超图，通过在超边定义离散莫射函数，并从关联单纯复形中的临界单纯形构造子链复形。证明了超图的嵌入同调同这些子复形的同调同构，推广了Forman原始结果，并为超图建立了莫射不等式与坍塌定理。

ABSTRACT

A hypergraph can be obtained from a simplicial complex by deleting some non-maximal simplices. By [11], a hypergraph gives an associated simplicial complex. By [4], the embedded homology of a hypergraph is the homology of the infimum chain complex, or equivalently, the homology of the supremum chain complex. In this paper, we generalize the discrete Morse theory for simplicial complexes by R. Forman [5-7] and give a discrete Morse theory for hypergraphs. We use the critical simplices of the associated simplicial complex to construct a sub-chain complex of the infimum chain complex and a sub-chain complex of the supremum chain complex, then prove that the embedded homology of a hypergraph is isomorphic to the homology of the constructed chain complexes. Moreover, we define discrete Morse functions on hypergraphs and compute the embedded homology in terms of the critical hyperedges. As by-products, we derive some Morse inequalities and collapse results for hypergraphs.

研究动机与目标

• 将原本为单纯复形开发的离散莫射理论推广至超图的设定。
• 在超图的超边定义离散莫射函数，并将其与关联单纯复形中的临界单纯形关联。
• 从临界单纯形构造子链复形，以计算超图的嵌入同调。
• 为超图建立类似于经典离散莫射理论中的莫射不等式与坍塌结果。
• 证明在适当不变性条件下，超图的嵌入同调同临界单纯形生成的链复形的同调同构。

提出的方法

• 在超图 $ \nH $ 的超边定义离散莫射函数 $ f $，并将其扩展至关联单纯复形 $ \Delta\mathcal{H} $。
• 利用关联单纯复形 $ \Delta\mathcal{H} $ 定义 $ \mathcal{H} $ 的下确界与上确界链复形，这些复形用于计算嵌入同调。
• 通过莫射函数 $ \overline{f} $ 所诱导的离散梯度向量场，识别 $ \Delta\mathcal{H} $ 中的临界单纯形。
• 从临界单纯形与下确界链复形的交集中构造子链复形，并证明其同调同构于 $ H_*(\mathcal{H}; R) $。
• 将水平超图 $ \mathcal{H}[c] $ 定义为满足 $ f(\sigma) \leq c $ 的超边的并集，并将其与关联单纯复形中的水平集关联。
• 利用Forman理论中的坍塌结果以及梯度向量场对链复形的不变性，证明水平超图的坍塌与同伦等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 鉴于超图缺乏单纯形的面结构，离散莫射理论能否从单纯复形推广至超图？
• RQ2 如何利用超边上的离散莫射函数定义控制超图同调的临界元素？
• RQ3 在何种条件下，超图的嵌入同调同由临界单纯形生成的链复形的同调同构？
• RQ4 在超图背景下，经典莫射不等式与坍塌定理的类比关系为何？
• RQ5 水平超图 $ \mathcal{H}[c] $ 在莫射理论坍塌下如何表现？其何时发生形变收缩？

主要发现

• 超图的嵌入同调 $ H_*(\mathcal{H}; R) $ 同构于临界单纯形与 $ \mathcal{H} $ 的下确界链复形交集所生成的链复形的同调。
• 当梯度向量场同时保持两个复形时，该同构关系在使用上确界链复形时依然成立。
• 本文为超图建立了莫射不等式，推广了单纯复形中的经典不等式。
• 证明了一个坍塌结果：若 $ a < b $ 且区间 $[a,b]$ 不包含临界值，且 $ \mathcal{H}[b] \setminus \mathcal{H}[a] $ 与关联单纯复形中的差集一致，则 $ \mathcal{H}[b] \searrow \mathcal{H}[a] $ 通过初等坍塌实现。
• 在适当条件下，水平超图 $ \mathcal{H}[c] $ 同伦等价于关联单纯复形的水平集 $ \Delta\mathcal{H}[c] $。
• 该构造独立于环境单纯复形 $ \mathcal{K} $ 的选择，仅依赖于最小关联复形 $ \Delta\mathcal{H} $。