[论文解读] A discrete Schrodinger equation via optimal transport on graphs

Shui-Nee Chow, Wuchen Li+1 more|arXiv (Cornell University)|May 22, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 24被引用 18

一句话总结

本文通过离散最优传输和Nelson的随机力学方法，推导出有限图上的新型离散非线性薛定谔方程。通过将系统表述为带有非线性图拉普拉斯算子和离散费舍尔信息的哈密顿ODE，该方法保持了质量、能量和基态结构——提供了一种几何的、结构保持的替代标准离散化方法。

ABSTRACT

In 1966, Edward Nelson presented an interesting derivation of the Schrodinger equation using Brownian motion. Recently, this derivation is linked to the theory of optimal transport, which shows that the Schrodinger equation is a Hamiltonian system on the probability density manifold equipped with the Wasserstein metric. In this paper, we consider similar matters on a finite graph. By using discrete optimal transport and its corresponding Nelson's approach, we derive a discrete Schrodinger equation on a finite graph. The proposed system is quite different from the commonly referred discretized Schrodinger equations. It is a system of nonlinear ordinary differential equations (ODEs) with many desirable properties. Several numerical examples are presented to illustrate the properties.

研究动机与目标

• 通过最优传输理论，发展一种在有限图上具有几何结构、保持结构的离散非线性薛定谔方程。
• 克服标准离散化方法在连续NLS中破坏守恒律和对称性的局限性。
• 在有限图设定下，建立Nelson随机推导薛定谔方程的离散类比。
• 通过哈密顿矩阵形式，定义并分析离散系统的基态和谱稳定性。
• 证明所提出的系统保持总质量与总能量，并在h→0时趋近于连续极限。

提出的方法

• 利用Benamou-Brenier框架，通过Wasserstein度量在加权无向图上形式化离散最优传输。
• 通过在概率单纯形上的变分原理，推导出图节点上概率密度ρ_j和相位S_j的非线性ODE系统。
• 引入离散费舍尔信息项ℐ(ρ) = ½∑_{(j,l)∈E} ω_jl (log ρ_j − log ρ_l)² g_jl(ρ)，其中g_jl(ρ) = (ρ_j + ρ_l)/2。
• 利用辛结构和能量泛函的Hessian矩阵构造哈密顿系统，得到辛矩阵H^(2)。
• 通过重建复波函数Ψ_j = √ρ_j e^{iS_j/h}，在图上定义离散NLS。
• 通过计算哈密顿矩阵H^(2) = [0, (1/n)L; −αI − (nh²/4)L, 0]的特征值，分析基态的谱稳定性，将其与图拉普拉斯算子的特征值联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 Nelson的随机推导薛定谔方程能否通过离散最优传输方法推广到有限图？
• RQ2 所得的离散NLS是否保持质量与能量守恒等基本物理性质？
• RQ3 离散费舍尔信息与非线性图拉普拉斯算子如何影响系统的结构与稳定性？
• RQ4 当普朗克常数h→0时，基态的行为如何？其是否收敛于狄拉克测度？
• RQ5 能否通过由图拉普拉斯算子构造的辛哈密顿矩阵，分析基态的谱稳定性？

主要发现

• 所推导的系统(3)是一个哈密顿ODE系统，保持总质量与总能量，确保长期稳定性。
• 离散NLS具有此前未报道的非线性图拉普拉斯算子，其源于费舍尔信息与传输度量。
• 基态ρ^g最小化∑ⱼ V_j ρ_j + (h²/8)ℐ(ρ)，数值结果表明其在h→0时收敛于x=0处的狄拉克测度。
• 在2节点图中，相图显示基态(½,½,0)具有谱稳定性，其周围存在闭合轨道。
• 哈密顿矩阵H^(2)的特征值为α_k^± = i√(λ_k²h²/4 + αλ_k/n)，当α > −(n/4)λ_k h²时稳定性成立。
• 该系统表现出由两个修正图拉普拉斯算子组成的辛结构，支持对稳定性的谱分析。