[论文解读] A Discrete Theory of Connections on Principal Bundles

Melvin Leok, Jerrold E. Marsden+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2005

Numerical methods for differential equations参考文献 22被引用 23

一句话总结

本文通过引入Atiyah序列的离散类比，并利用该序列的分裂定义离散联络，发展了主丛上联络的离散理论。该理论建立了基于离散外微分形式的离散曲率、holonomy（单值性）和几何相位的计算框架，使几何力学与控制中的结构保持型数值积分成为可能。

ABSTRACT

Connections on principal bundles play a fundamental role in expressing the equations of motion for mechanical systems with symmetry in an intrinsic fashion. A discrete theory of connections on principal bundles is constructed by introducing the discrete analogue of the Atiyah sequence, with a connection corresponding to the choice of a splitting of the short exact sequence. Equivalent representations of a discrete connection are considered, and an extension of the pair groupoid composition, that takes into account the principal bundle structure, is introduced. Computational issues, such as the order of approximation, are also addressed. Discrete connections provide an intrinsic method for introducing coordinates on the reduced space for discrete mechanics, and provide the necessary discrete geometry to introduce more general discrete symmetry reduction. In addition, discrete analogues of the Levi-Civita connection, and its curvature, are introduced by using the machinery of discrete exterior calculus, and discrete connections.

研究动机与目标

• 构建Atiyah序列的离散类比，以形式化主丛上的离散联络。
• 提供一个保留曲率与holonomy等几何结构的离散联络计算框架。
• 在具有对称性的机械系统变分积分器中，实现离散对称性约化与几何相位计算。
• 将离散外微分形式扩展至具有主丛结构的单纯复形网格，包含联络与曲率。
• 通过在对称且内在的设定下引入离散联络，为离散非完整力学与几何控制奠定基础。

提出的方法

• 利用离散广群与分裂构造离散Atiyah序列，以在主丛上定义离散联络。
• 引入扩展的对偶广群复合运算，以保持主丛结构，并支持水平提升。
• 将离散联络1-形式定义为在离散1-链上取值于G的函数，曲率通过离散外微分计算。
• 利用具有部分顶点排序的单纯剖分，使曲率在共轭意义下定义良好，并应用共轭不变范数以检测曲率。
• 在顶点与边上定义离散黎曼流形，包含原始度量与联络，实现局部嵌入与holonomy计算。
• 应用广义Stokes定理，通过网格上的平行移动计算离散曲率，即闭合环路上的holonomy。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何构造Atiyah序列的离散类比，以建模主丛上的联络？
• RQ2 如何在单纯复形网格上内在地定义离散曲率与holonomy，同时保持几何结构？
• RQ3 离散联络在实现离散对称性约化与几何相位计算中起到何种作用？
• RQ4 如何从连续联络构造离散联络？其精度阶数为何？
• RQ5 离散联络能否用于构建具有对称性的非完整力学的一致离散理论？

主要发现

• 构建了离散Atiyah序列，离散联络对应于该短正合序列的分裂。
• 离散曲率通过联络1-形式的离散外微分定义为取值于G的2-形式，在单纯复形上定义良好（至多共轭意义下）。
• 在SO(n)上定义共轭不变范数，使曲率可用作高曲率区域网格加密的质量度量。
• 通过网格中环路上的平行移动计算离散holonomy，依据广义Stokes定理，其等于曲率的积分。
• 该框架使离散几何相位（如翻倒猫与傅科摆）能通过结构保持型积分器进行模拟。
• 该理论为离散非完整力学提供了基础，未来或可在使用变分积分器的刚体模拟中获得精确的离散相位公式。