[论文解读] A discrete time neural network model with spiking neurons. Rigorous results on the spontaneous dynamics

Bruno Cessac|ArXiv.org|Jun 1, 2007

Neural dynamics and brain function参考文献 17被引用 15

一句话总结

本文提出一种具有脉冲神经元的离散时间神经网络模型（BMS模型），通过符号动力学严格建立膜电位动力学与脉冲发放序列之间的一一对应关系。尽管其行为通常为周期性，但由于存在尖锐阈值，模型表现出一种弱形式的初值敏感性，导致数值上无法区分的混沌动力学，并使得遍历理论与热力学形式化方法可用于分析脉冲模式。

ABSTRACT

We derive rigorous results describing the asymptotic dynamics of a discrete time model of spiking neurons introduced in \cite{BMS}. Using symbolic dynamic techniques we show how the dynamics of membrane potential has a one to one correspondence with sequences of spikes patterns (``raster plots''). Moreover, though the dynamics is generically periodic, it has a weak form of initial conditions sensitivity due to the presence of a sharp threshold in the model definition. As a consequence, the model exhibits a dynamical regime indistinguishable from chaos in numerical experiments.

研究动机与目标

• 建立一个离散时间脉冲神经网络模型（BMS模型）的严格数学框架，明确膜电位动力学与脉冲序列之间的对应关系。
• 分析该模型的渐近动力学，特别是尖锐阈值对初值敏感性与周期性的影响。
• 证明尽管模型的动力学通常为周期性，但由于奇点集的存在，其动力学在数值模拟中可能表现出类混沌行为。
• 为应用动力系统理论、遍历理论与统计力学工具研究脉冲序列中的信息编码奠定基础。
• 探讨该模型对理解神经编码、突触可塑性以及噪声与网络规模影响的启示。

提出的方法

• 使用符号动力学与拓扑动力学，将神经元脉冲模式编码为符号序列（光栅图）。
• 应用动力系统理论中的严格技术，分析定义BMS模型的分段仿射映射的渐近行为。
• 识别出一个奇点集（零勒贝格测度集），在该集合上，由于尖锐阈值的存在，动力学表现出点状初值敏感性。
• 构建马尔可夫划分，以实现系统动力学的符号编码，从而可应用热力学形式化方法。
• 对网络行为转变进行数值研究，包括在突触权重方差增加时，从静默（神经死亡）状态到长暂态类混沌动力学的急剧转变。
• 利用吉布斯测度与拓扑压上的变分原理，对脉冲序列的统计特性进行建模，与STDP和赫布可塑性等学习规则建立联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何严格地将离散时间脉冲神经网络中膜电位的动力学映射到脉冲序列（光栅图）？
• RQ2 具有尖锐阈值的脉冲神经网络中初值敏感性的本质是什么？它与经典混沌有何不同？
• RQ3 当系统趋近奇点集时，周期轨道数量与瞬态长度如何变化？
• RQ4 BMS模型能否支持使用吉布斯测度与热力学形式化对脉冲序列进行统计力学描述？
• RQ5 突触权重方差对网络中类混沌动力学出现的影响是什么？

主要发现

• 膜电位动力学与脉冲模式序列（光栅图）之间存在一一对应关系，确保从连续电位到离散脉冲转换过程中信息无损。
• 尽管动力学通常为周期性，但奇点集的存在导致一种弱形式的初值敏感性，使得轨迹在与该集合相交时出现点状发散。
• 当吸引子与奇点集之间的距离趋近于零时，周期轨道数量与瞬态长度呈指数增长，导致数值上无法区分的混沌行为。
• 在数值模拟中观察到一个急剧转变：随着突触权重方差增加，网络从静默（神经死亡）状态跃迁至长暂态类混沌动力学，随后在方差进一步增大时又返回低周期性动力学。
• 该模型支持马尔可夫划分，从而可应用符号动力学，并利用遍历理论与热力学形式化分析脉冲序列的统计特性。
• 吉布斯测度自然出现在该模型中，提供了一个统计框架，通过拓扑压上的变分原理与最大熵原理及学习规则（如STDP与赫布可塑性）建立联系。