[论文解读] A dissipative time reversal technique for photo-acoustic tomography in a cavity

Linh V. Nguyen, Leonid Kunyansky|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2015

Photoacoustic and Ultrasonic Imaging参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文提出了一种用于具有完美反射壁面的空腔内光声计算机断层扫描的耗散时间反演技术，其中由于能量守恒，标准时间反演方法因缺乏能量衰减而失效。通过用涉及法向导数和时间导数的非标准边界条件替代狄利克雷边界条件，使得误差方程满足耗散边界条件，从而实现初始压力重建的指数收敛，且该收敛性随测量时间T的增加而增强。该方法在全数据和部分数据情况下均适用，且支持非迭代与迭代（诺伊曼级数）两种实现方式。

ABSTRACT

We consider the inverse source problem arising in thermo- and photo-acoustic tomography. It consists in reconstructing the initial pressure from the boundary measurements of the acoustic wave. Our goal is to extend versatile time reversal techniques to the case of perfectly reflecting boundary of the domain. Standard time reversal works only if the solution of the direct problem decays in time, which does not happen in the setup we consider. We thus propose a novel time reversal technique with a non-standard boundary condition. The error induced by this time reversal technique satisfies the wave equation with a dissipative boundary condition and, therefore, decays in time. For larger measurement times, this method yields a close approximation; for smaller times, the first approximation can be iteratively refined, resulting in a convergent Neumann series for the approximation.

研究动机与目标

• 解决在具有完美反射边界、且因缺乏能量衰减而导致经典时间反演方法失效的共振空腔中热声与光声计算机断层扫描（TAT/PAT）的反源问题。
• 克服标准时间反演技术的局限性，后者依赖于解的衰减，因此在能量保持的空腔中不适用。
• 开发一种鲁棒且数值可行的时间反演方法，即使在测量时间较短时也能确保误差衰减与收敛。
• 实现对全边界数据与部分边界数据的精确重建，克服以往方法对严格特征值条件或调和延拓的依赖。

提出的方法

• 提出一种新型时间反演算法，采用结合解的法向导数与时间导数的非标准边界条件，确保误差满足耗散波方程。
• 构建误差方程，使其因耗散边界条件而在时间上衰减，从而实现测量时间T增加时的收敛性。
• 引入两种重建策略：一种非迭代近似方法，其收敛速度随T呈指数形式；另一种基于诺伊曼级数的迭代方法，可逐步优化解。
• 在广义控制条件（GCC）下建立理论收敛性，该条件比以往工作中基于特征值的条件更为宽松。
• 避免计算边界数据的调和延拓，相比平均时间反演方法，显著简化了数值实现。
• 在二维圆形区域中通过数值实验验证该方法，展示了在全数据与部分数据、有噪声与无噪声条件下的性能表现。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有完美反射壁面的空腔中TAT/PAT问题开发一种时间反演方法，其中直接问题的解在时间上不发生衰减？
• RQ2 当波能量因纽曼边界条件而保持不变时，如何控制时间反演中的误差并使其衰减？
• RQ3 在时间反演中应采用何种边界条件，以确保误差方程满足耗散条件并随时间衰减？
• RQ4 所提方法是否能在不依赖于域的严格谱条件的前提下，实现对全数据与部分数据问题的收敛？
• RQ5 该方法是否可高效实现，而无需像某些先前方法那样计算边界数据的调和延拓？

主要发现

• 所提出的耗散时间反演方法在测量时间T增加时，即使在无能量衰减的情况下，也能实现重建误差指数收敛至零。
• 对于全数据，第一次模拟中相对$L^2(Ω)$重建误差为1.1%，在$T = 1.6$（与$T(Ω,\Gamma) \approx 2.828$相比）时，五次迭代后降至3.3%。
• 对于部分数据，第一次模拟中相对$L^2(Ω)$误差为6.8%，五次迭代后在$T = 3$（与$T(Ω,\Gamma) \approx 5.6569$相比）时降至5.4%。
• 该方法在50%白噪声污染下仍具鲁棒性，首次近似下的相对误差分别为19%（全数据）和22%（部分数据），表明对数据噪声具有较低敏感性。
• 理论收敛性在广义控制条件（GCC）下得到证明，该条件比以往工作（如[HK15]）中基于特征值的条件更为宽松。
• 数值结果表明，即使在接近理论下限的测量时间下，该算法性能依然良好，说明尖锐的时间要求在实际中并不显得过于苛刻。