[论文解读] A Distance Between Filtered Spaces Via Tripods

Bauer, Ulrich, Landi, Claudia+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 6被引用 8

一句话总结

本文提出了一种新的伪度量 dF，用于通过三脚架（共同参数空间，映射到两个不同的过滤集）比较过滤空间。通过在过滤空间空间中构造显式测地线，作者证明了 dF 是内在的，并利用它加强了持久同调的稳定性，表明持久图轨迹沿测地线的长度受 dF 有界。

ABSTRACT

We consider the setting of Reeb graphs of piecewise linear functions and study distances between them that are stable, meaning that functions which are similar in the supremum norm ought to have similar Reeb graphs. We define an edit distance for Reeb graphs and prove that it is stable and universal, meaning that it provides an upper bound to any other stable distance. In contrast, via a specific construction, we show that the interleaving distance and the functional distortion distance on Reeb graphs are not universal.

研究动机与目标

• 将持久同调的稳定性扩展到定义在不同基集上的过滤空间，克服先前结果要求共同定义域的限制。
• 在有限过滤空间空间上定义测地度量，通过构造显式测地线证明 dF 是内在的。
• 通过将持久图轨迹的长度与 dF 关联，加强持久同调的经典稳定性定理。
• 为通过 Gromov–Hausdorff 距离比较源自度量空间（如 Rips 和 Čech 过滤）的过滤空间提供一个框架。

提出的方法

• 将 dF(X, Y) 定义为所有共同参数空间 Z 及满射映射 ϕX: Z → X, ϕY: Z → Y 的下确界，即拉回过滤 ϕ*XF 与 ϕ*YF 之间差值的 ℓ∞-范数。
• 使用三脚架（共同参数空间）在不依赖同构或交错关系的前提下比较不同集合上的过滤。
• 对最小化三脚架 T ∈ T_opt(X,Y)，构造测地线 γT(t) = (Z, (1−t)ϕ*XF + tϕ*YF)，并证明 dF(γT(s), γT(t)) = |s−t|·dF(X,Y)。
• 利用测地线构造，将持久图轨迹的长度 LD(Dk(γT)) 有界于 dF(X,Y)，从而优于瓶颈距离的有界性。
• 通过在乘积参数空间上的拉回图使用三角不等式，证明 dF 是伪度量。
• 将该框架应用于 Rips 和 Čech 过滤，证明 dF(F^R_X, F^R_Y) ≤ 2 dGH(X,Y) 且 dF(F^C_X, F^C_Y) ≤ 2 dGH(X,Y)，从而与 Gromov–Hausdorff 距离建立联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖交错关系的前提下，将持久同调的稳定性扩展到不同基集上的过滤？
• RQ2 所提出的距离 dF 是否是内在的，即是否在任意两个过滤空间之间都存在显式测地线？
• RQ3 沿测地线的持久图轨迹长度能否提供强于瓶颈距离的有界性？
• RQ4 dF 与度量空间过滤中的经典度量（如 Gromov–Hausdorff 距离）有何关系？

主要发现

• 伪度量 dF 定义良好且满足三角不等式，因此是有限过滤空间空间上的有效伪度量。
• 对于任意一对过滤空间 X 和 Y，存在一个最小化三脚架 T，使得曲线 γT(t) = (Z, (1−t)ϕ*XF + tϕ*YF) 是 dF 中的测地线，从而证明 dF 是内在的。
• 持久图轨迹长度 LD(Dk(γT)) 上方有界于 dF(X,Y)，这通过提供比瓶颈距离更紧的下界，加强了定理 4.2。
• 对于 Rips 和 Čech 过滤，有 dF(F^R_X, F^R_Y) ≤ 2 dGH(X,Y) 且 dF(F^C_X, F^C_Y) ≤ 2 dGH(X,Y)，从而将 dF 与 Gromov–Hausdorff 距离联系起来。
• 在反例中，LD(αT) = 1 而 dD(Dk(X), Dk(Y)) = 1/2，表明新界严格强于经典瓶颈界。
• 测地线构造使得无需依赖多值映射或交错关系，即可直接证明加强后的稳定性结果。