[论文解读] A DIVISION ALGORITHM IN AN AFFINE FRAMEWORK FOR FLAT FAMILIES COVERING HILBERT SCHEMES

Cristina Bertone, Francesca Cioffi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2012

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 16被引用 1

一句话总结

本文提出了一种基于 (j;m)-标记基的新型仿射除法算法，用于构造具有固定仿射 Hilbert 多项式与单项式基的非齐次理想平坦族，从而实现仿射空间内子概形的显式计算以及高效的齐次化。关键贡献在于证明了在强稳定理想上的标记族构成 Hilbert 概形的一个开覆盖，使得能够进行显式计算，例如在 P⁷ 中 16 个点的 Hilbert 概形中检测出三个不可约分支，并证明特定 Gorenstein 概形的光滑性。

ABSTRACT

We study the family of ideals i R = K(x1;:::;xn) whose quotients R=i share the same ane Hilbert polynomial and the same monomial K-vector basis, that we choose to be the sous-escalierN (j) of a strongly stable ideal j R. The analogous problem for homogeneous ideals has already been studied, but in the non-homogenous case there are more diculties that we overcome introducing the notion of ( j;m)-marked basis, for a xed positive integer m. We design a division algorithm which works in an ane context and allows the explicit construction of a class of at families of (non-homogeneous) ideals, that we call (j;m)-marked families. We can compute a set of equations endowing a marked family Mf(j;m) with the structure of subscheme of a suitable ane space; moreover, we can simultaneously contruct the homogenization of the ideals inMf(j;m) in a very ecient and simple way. Finally we show that, up to changes of coordinates, the marked families over strongly stable ideals in R give an open cover of Hilbert schemes. These results allow us to make explicit computations on Hilbert schemes, for example, for the one of 16 points in P 7 , we detect three irreducible components through a single point and we prove the smoothability of Gorenstein schemes with Hilbert function (1; 7; 7; 1). In a similar way we also prove the smoothability of Gorenstein schemes with Hilbert function (1; 5; 5; 1).

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，用于在仿射设定下构造具有固定仿射 Hilbert 多项式与单项式基的非齐次理想平坦族。
• 通过为固定整数 m 引入 (j;m)-标记基的概念，克服非齐次情形下的挑战。
• 设计一种仿射除法算法，以实现 (j;m)-标记族及其齐次化的显式构造。
• 通过显式方程赋予标记族在仿射空间中的子概形结构。
• 证明，经过坐标变换后，这些在强稳定理想上的标记族可覆盖整个 Hilbert 概形。

提出的方法

• 为固定正整数 m 引入 (j;m)-标记基的概念，以处理仿射设定下的非齐次理想。
• 开发一种专用于仿射环的除法算法，其在强稳定理想及其 sous-escalierN(j) 框架内运行。
• 构造显式方程，将标记族 Mf(j;m) 定义为适当仿射空间中的子概形。
• 以高效且系统化的方式，同时计算 Mf(j;m) 中所有理想的整体齐次化。
• 利用所得的 (j;m)-标记族，通过坐标变换覆盖 Hilbert 概形，从而建立一个开覆盖。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在仿射设定下系统地构造具有固定单项式基与仿射 Hilbert 多项式的非齐次理想平坦族？
• RQ2 参数 m 在构造非齐次理想的 (j;m)-标记基过程中起什么作用？
• RQ3 能否推导出显式方程，将标记族实现为仿射空间的子概形？
• RQ4 如何高效且统一地计算此类族中理想的整体齐次化？
• RQ5 在坐标变换下，强稳定理想上的标记族是否构成 Hilbert 概形的一个开覆盖？

主要发现

• 本文构造了显式方程，使标记族 Mf(j;m) 获得仿射空间中子概形的结构。
• 通过所提方法，可高效且统一地计算 Mf(j;m) 中所有理想的整体齐次化。
• 对于 P⁷ 中 16 个点的 Hilbert 概形，该方法仅通过一个点即检测出三个不可约分支。
• 本文通过所构造的族证明了具有 Hilbert 函数 (1; 7; 7; 1) 的 Gorenstein 概形具有光滑性。
• 同样框架下，也建立了具有 Hilbert 函数 (1; 5; 5; 1) 的 Gorenstein 概形的光滑性。