[论文解读] A Double Bicategory of Cobordisms With Corners

Jeffrey C. Morton|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2006

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 7

一句话总结

本文通过在具有上推的范畴中使用双余链（double cospans），引入了一类带角的 cobordism 的 Verity 2-范畴，建立了弱 2-范畴结构，其中复合运算在一致同构下满足结合律与单位律。其主要贡献在于系统性地构建了一种模型，通过余链的同构类来表示扩展拓扑场论，为弱立方高阶范畴提供了基础框架。

ABSTRACT

Interest in weak cubical n-categories arises in various contexts, in particular in topological field theories. In this paper, we describe a concept of bicategory, namely a strict model of the theory of bicategories in Bicat. We show that in a special case one can reduce this to what we call a Verity bicategory, after Domenic Verity. This is a weakened version of a category, in the sense that composition in both horizontal and vertical directions satisfy associativity and unit laws only up to (coherent) isomorphisms. We prove that there are examples in the form of bicategories of double cospans (or double spans) in any category with pushouts (pullbacks, respectively), and give a construction from this which involves taking isomorphism classes of objects, and gives a Verity bicategory of cospans. We describe cobordisms with corners as an example of this construction.

研究动机与目标

• 在 2-范畴 Bicat 中建立 bicategories 的严格模型，重点关注弱高阶结构中的 coherence 性质。
• 引入 Verity bicategories 作为弱化的范畴框架，其中复合运算仅在一致同构下满足结合律与单位律。
• 证明在具有上推的范畴中，双余链自然地通过对象的同构类生成 Verity bicategories。
• 将此构造应用于带角的 cobordism，证明其在所定义结构下可实现为 Verity bicategory。
• 通过弱立方 n-范畴提供扩展拓扑场论的范畴基础。

提出的方法

• 在 Bicat 中定义 bicategories 的严格模型，以形式化具有受控 coherence 性质的 bicategories 理论。
• 引入 Verity bicategories 作为弱化范畴结构，推广了复合运算仅在一致同构下定义的范畴。
• 在具有上推的范畴中构造双余链，利用余链与链来建模带角的 cobordism。
• 在双余链构造中取对象的同构类，以确保复合运算的良定义性与 coherence 性质。
• 将该构造应用于带角的 cobordism，证明其在所定义结构下构成一个 Verity bicategory。
• 验证结合律与单位律在一致同构下成立，满足 Verity 的弱化 bicategory 公理。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从具有上推的范畴中的双余链构造 Verity bicategory？
• RQ2 何种条件可确保带角 cobordism 的复合运算满足 up to isomorphism 的 coherence 性质？
• RQ3 带角 cobordism 的范畴能否通过双余链的同构类自然地建模为 Verity bicategory？
• RQ4 在具有上推的范畴中，双余链构造如何产生弱 2-范畴结构？
• RQ5 同构类在稳定带角 cobordism 的 bicategorical 结构中起何种作用？

主要发现

• 在具有上推的范畴中构造双余链，并取其对象的同构类后，可得到 Verity bicategory。
• 通过双余链构造，证明了带角 cobordism 可构成 Verity bicategory。
• 该 bicategory 中的结合律与单位律在一致同构下成立，满足 Verity 的弱化 bicategory 条件。
• 使用同构类可确保复合运算的良定义性与 bicategorical 结构的稳定性。
• 该框架为与扩展拓扑场论相关的弱立方 n-范畴提供了系统性模型。