[论文解读] A doubling measure on $\R^d$ can charge a rectifiable curve

John B. Garnett, Rowan Killip+1 more|ArXiv.org|Jun 13, 2009

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 3被引用 4

一句话总结

本文在 $\mathbb{R}^d$ ($d \geq 2$) 上构造了一个加倍测度，其对一条可求长曲线赋予正测度，这与长期以来认为加倍测度必须对可求长集奇异的信念相矛盾。该构造通过基于三进制的迭代过程，将一维加倍测度的乘积以受控的质量分布方式构建，并通过嵌入在嵌套的 dyadic 方体族中的曲线，证明了其在 $\mathcal{H}^1$-Hausdorff 测度下为有限且在加倍测度下为正测度。

ABSTRACT

For $d\geq 2$, we construct a doubling measure $ν$ on $\R^d$ and a rectifiable curve $Γ$ such that $ν(Γ)>0$.

研究动机与目标

• 解决关于 $\mathbb{R}^d$ ($d \geq 2$) 上的加倍测度是否能对可求长曲线赋予正测度的开放问题。
• 挑战普遍认为加倍测度必须对可求长集和光滑子流形奇异的直觉。
• 构造一个加倍测度与一条可求长曲线的显式例子，使得该测度对曲线赋予正测度。
• 证明尽管测度满足加倍条件且曲线具有有限长度，此类构造仍是可能的。

提出的方法

• 通过基于三进制展开的函数乘积，在 $\mathbb{R}$ 上定义一个一维加倍测度 $\mu$，质量通过参数 $\delta \in (0, \frac{1}{3}]$ 分布。
• 将 $d$-维加倍测度 $\nu$ 构造为 $\mu$ 的 $d$-重乘积，确保在乘积结构下保持加倍性质。
• 通过基于三进制展开中数字计数的迭代替换方式，定义嵌套的 dyadic 方体族 $\mathcal{K}_l$。
• 将曲线 $\Gamma$ 定义为每一层立方体内骨架路径的并集以及构造的极限集，确保其连通性与可求长性。
• 使用大偏差估计，控制在前 $n$ 个三进制数字中至多有 $k$ 个非1数字的立方体集合的测度。
• 应用控制收敛定理与指数界估计 $\nu(\Gamma)$ 的下界，证明在合适参数下其为正。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}^d$ ($d \geq 2$) 上的加倍测度是否能对可求长曲线赋予正测度？
• RQ2 是否可能构造一个对可求长曲线不奇异的加倍测度，尽管该测度具有正则性？
• RQ3 对测度与曲线的何种结构约束可使此类构造成功？
• RQ4 如何调节加倍测度中的质量分布，使其集中在 $\mathcal{H}^1$-测度有限的集合上？

主要发现

• 本文构造了一个 $\mathbb{R}^d$ 上的加倍测度 $\nu$ 与一条可求长曲线 $\Gamma$，使得 $\nu(\Gamma) > 0$，从而肯定地解决了该开放问题。
• 曲线 $\Gamma$ 具有有限的 $\mathcal{H}^1$-测度，其上界为 $\mathcal{H}^1(\Gamma) \leq 3d2^d e^{3dn_1[\delta + \delta\log(\delta^{-1})]}$，在参数约束下成立。
• $\nu(\Gamma)$ 的下界为 $\exp\bigl{\{} -\frac{de^{-2\delta^2n_1}}{(1-e^{-2\delta^2n_1})^2}\bigr{\}}$，对任意固定的 $\delta > 0$ 且 $n_1$ 足够大时为正。
• 该构造确保通过增大 $n_1$，可使 $\nu(\Gamma)$ 任意接近 $\nu([0,1]^d)$，表明该曲线可捕获测度的绝大部分。
• 该方法依赖于基于三进制的迭代质量分布，其中三进制展开中1数字较少的区间获得更高的质量，其受 $\delta$ 控制。