[论文解读] A doubly nonlinear evolution for ground states of the p-Laplacian

Ryan Hynd, Erik Lindgren|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 19被引用 3

一句话总结

该论文研究双非线性PDE $|v_t|^{p-2}v_t = \Delta_p v$ 以分析 $p$-拉普拉斯算子的基态。证明了瑞利商在时间上非增，并且当 $t \to \infty$ 时，$e^{\mu_p t}v(x,t)$ 收敛于一个 $p$-基态，且当 $p \to \infty$ 时的极限方程为无穷范数拉普拉斯算子基态提供了新颖的逼近方法。

ABSTRACT

We study the initial value problem related to the PDE $|v_t|^{p-2}v_t=\Delta_p v$. A special property of this equation is that the Rayleigh quotient associated with ground states of the $p$-Laplacian is nonincreasing in time along solutions. Moreover, for each $p\in (1,\infty)$, there is a positive number $\mu_p$ for which $e^{\mu_p t}v(x,t)$ converges to a $p$-ground state as $t$ tends to infinity. An interesting limiting equation also arises when $p$ tends to infinity, which suggests a new way to approximate ground states of the infinity Laplacian.

研究动机与目标

• 理解双非线性PDE $|v_t|^{p-2}v_t = \Delta_p v$ 解的长时间行为。
• 建立与 $p$-拉普拉斯算子基态相关的瑞利商沿解非增的性质。
• 证明对于每个 $p \in (1,\infty)$，当 $t \to \infty$ 时，$e^{\mu_p t}v(x,t)$ 收敛于一个 $p$-基态。
• 探讨当 $p \to \infty$ 时方程的极限行为，从而为逼近无穷范数拉普拉斯算子基态提供新方法。

提出的方法

• 使用能量方法和比较原理分析PDE $|v_t|^{p-2}v_t = \Delta_p v$ 的初值问题。
• 利用与 $p$-拉普拉斯算子相关的瑞利商来追踪时间上的单调性。
• 证明存在一个正的常数 $\mu_p$，使得当 $t \to \infty$ 时，$e^{\mu_p t}v(x,t)$ 收敛于一个 $p$-基态。
• 对方程在 $p \to \infty$ 时进行渐近分析，推导出刻画无穷范数拉普拉斯算子基态的极限方程。
• 采用变分和谱技术分析基态的收敛性与稳定性。
• 依赖于 $p$-拉普拉斯算子及其特征值问题的结构，推导出指数收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于PDE $|v_t|^{p-2}v_t = \Delta_p v$ 的解，瑞利商在时间上的行为如何？
• RQ2 当 $t \to \infty$ 时，PDE的解 $v(x,t)$ 在指数缩放下是否收敛于一个 $p$-基态？
• RQ3 当 $p \to \infty$ 时，该PDE的渐近行为是什么？它与无穷范数拉普拉斯算子有何关联？
• RQ4 能否利用 $p \to \infty$ 时的极限方程来构造无穷范数拉普拉斯算子基态的近似？
• RQ5 常数 $\mu_p$ 在 $e^{\mu_p t}v(x,t)$ 指数收敛于 $p$-基态的过程中起什么作用？

主要发现

• 与 $p$-拉普拉斯算子基态相关的瑞利商沿PDE $|v_t|^{p-2}v_t = \Delta_p v$ 的解在时间上非增。
• 对于每个 $p \in (1,\infty)$，存在一个正的常数 $\mu_p$，使得当 $t \to \infty$ 时，$e^{\mu_p t}v(x,t)$ 收敛于一个 $p$-基态。
• $e^{\mu_p t}v(x,t)$ 收敛于 $p$-基态的过程以速率 $\mu_p$ 指数快速收敛。
• 当 $p \to \infty$ 时，PDE导出一个极限方程，为逼近无穷范数拉普拉斯算子基态提供了新方法。
• $p \to \infty$ 时的极限方程提示了一种变分与动力学方法，可用于构造无穷范数拉普拉斯算子基态。
• PDE的结构确保长时间动力学由 $p$-拉普拉斯算子的第一特征函数主导，并具有显式的指数缩放。