[论文解读] A Douglas-Rachford type primal-dual method for solving inclusions with mixtures of composite and parallel-sum type monotone operators

Radu Ioan Boţ, Christopher Hendrich|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2012

Numerical methods in inverse problems参考文献 5被引用 10

一句话总结

本文提出两种不精确的原始-对偶 Douglas-Rachford 分裂算法，用于求解涉及复合型与并联和型单调算子的单调包含问题。该方法通过预解式和前向步长分别处理有界线性算子与集值算子，实现并行化与误差容限，具备收敛性保证，并在图像去模糊与定位问题中展现出优异性能。

ABSTRACT

In this paper we propose two different primal-dual splitting algorithms for solving inclusions involving mixtures of composite and parallel-sum type monotone operators which rely on an inexact Douglas-Rachford splitting method, however applied in different underlying Hilbert spaces. Most importantly, the algorithms allow to process the bounded linear operators and the set-valued operators occurring in the formulation of the monotone inclusion problem separately at each iteration, the latter being individually accessed via their resolvents. The performances of the primal-dual algorithms are emphasized via some numerical experiments on location and image deblurring problems.

研究动机与目标

• 开发用于求解涉及复合型与并联和型单调算子混合的原始-对偶算法。
• 实现对集值算子的独立预解式处理与对有界线性算子的显式前向步长处理。
• 允许在预解式计算中引入可 summable 的误差，提升实际可实现性。
• 在最小假设条件下确保弱收敛与强收敛，无需假设利普希茨连续性或共强制性。
• 在凸优化问题中展示算法性能，特别是在图像去模糊与定位问题中的应用。

提出的方法

• 算法基于在不同希尔伯特空间中应用的不精确 Douglas-Rachford 分裂方法，利用单调包含问题的结构。
• 集值算子通过其预解式单独访问，而有界线性算子则通过在算子或其伴随算子上执行显式前向步长进行处理。
• 在乘积希尔伯特空间框架下构建算法，以解耦包含问题的各个分量。
• 算法设计支持并行化，每轮迭代中预解式与前向步长可独立计算。
• 在一般条件下建立收敛性，包括预解式计算中的可 summable 误差，且无需假设利普希茨或共强制性质。
• 通过 Fenchel 对偶性将方法应用于凸优化，其中次微分算子导出近端点映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 原始-对偶分裂方法能否被扩展以处理复合型与并联和型单调算子的混合，同时实现算子处理的分离？
• RQ2 在原始-对偶算法中，如何在保持收敛性的同时引入预解式计算中的不精确性？
• RQ3 在最小假设条件下（如无需利普希茨或共强制性条件），所提方法的收敛行为如何？
• RQ4 在图像去模糊任务中，所提算法与现有方法（如前向-后向-前向方法）相比性能如何？
• RQ5 所提算法能否在大规模问题（如图像重建）中实现高效并行化与实际实现？

主要发现

• 在一般假设下，包括预解式计算中的可 summable 误差，所提算法对原始-对偶单调包含问题实现了弱收敛与强收敛。
• 算法 3.1 与算法 3.2 均适用于凸最小化问题，在资格条件成立时，其收敛性等价于求解原始-对偶优化对。
• 在 256×256 的 cameraman 图像上的数值实验表明，两种算法在目标函数下降与 ISNR 改进方面均优于前向-后向-前向方法。
• 图 4.4 中的 ISNR 值与目标函数演化表明，DR1（算法 3.1）与 DR2（算法 3.2）的收敛速度更快，且重建质量优于 FBF 方法。
• 算法对实现误差具有鲁棒性，如在预解式计算中使用可 summable 误差序列，仍能保证收敛。
• 方法具有高度可并行性，因为大多数步骤（尤其是预解式与前向运算）可独立计算。