[论文解读] A dual characterization of self-generation and exponential forward performances

Gordan Žitković|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用 5

一句话总结

本文在不完全的半鞅金融市场中建立了前向绩效过程的双重表征，证明了在原始效用场中的自生成性等价于在局部鞅测度的对偶场中的自生成性。文章为指数型前向绩效提供了必要且充分的条件，并在伊藤过程驱动的市场中推导出此类过程的显式参数化，解决了在无终端时间Horizon下效用最大化的关键挑战。

ABSTRACT

We propose a mathematical framework for the study of a family of random fields--called forward performances--which arise as numerical representation of certain rational preference relations in mathematical finance. Their spatial structure corresponds to that of utility functions, while the temporal one reflects a Nisio-type semigroup property, referred to as self-generation. In the setting of semimartingale financial markets, we provide a dual formulation of self-generation in addition to the original one, and show equivalence between the two, thus giving a dual characterization of forward performances. Then we focus on random fields with an exponential structure and provide necessary and sufficient conditions for self-generation in that case. Finally, we illustrate our methods in financial markets driven by Itô-processes, where we obtain an explicit parametrization of all exponential forward performances.

研究动机与目标

• 建立不完全半鞅市场中前向绩效过程的严格数学框架。
• 提供自生成的对偶形式，证明原始场与对偶场中自生成性的等价性。
• 通过推导该类中自生成的必要与充分条件，对指数型前向绩效进行表征。
• 在伊藤过程驱动的市场中说明理论，得出所有指数型前向绩效的显式参数化。
• 克服缺乏终端时间Horizon所带来的困难，该困难使得前向绩效场的构造与表征变得复杂。

提出的方法

• 将前向绩效过程引入为时间索引的随机场，满足Nisio型半群性质（即自生成性）。
• 通过凸分析对偶性定义对偶随机场，将效用场映射到局部鞅测度族。
• 利用效用函数与对偶值函数之间的对偶性，证明原始场中的自生成性等价于对偶场中的自生成性。
• 将理论应用于指数效用结构，通过变分分析推导出自生成性的显式条件。
• 利用凸对偶性与Fenchel-Moreau定理，通过共轭对将原始值函数与对偶值函数关联。
• 采用半鞅拓扑与M´emin定理，证明在伊藤过程设定下，受约束的随机积分的闭包性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在对偶框架中表征前向绩效过程中自生成性的特征？
• RQ2 对于具有指数结构的前向绩效过程，其自生成性的必要与充分条件是什么？
• RQ3 缺乏终端时间Horizon如何影响前向绩效场的构造与表征？
• RQ4 对偶形式是否总能实现最小值，而原始问题则不然？这对最优解的存在性有何影响？
• RQ5 在伊藤过程驱动的市场中，可以为指数型前向绩效推导出何种显式参数化？

主要发现

• 原始前向绩效场中的自生成性等价于局部鞅测度对偶场中的自生成性。
• 对偶形式总存在最小化元，从而无需在原始问题中假设最大化解的存在性。
• 对于指数型前向绩效，自生成性成立当且仅当对偶场满足一个特定的指数结构条件，该条件涉及局部鞅测度的Radon-Nikodym导数。
• 在伊藤过程驱动的市场中，所有指数型前向绩效均可通过市场风险价格与一个时变参数的显式参数化表示。
• 受约束的随机积分集合在半鞅拓扑下是闭的，确保了投资组合策略在收敛下的稳定性。
• 原始值函数与对偶值函数之间的对偶性几乎必然逐点成立，且在适当的可积性条件下，共轭对表示中也成立等式。