[论文解读] A Duality Between U(1) Haah Code and 3D Smectic A Phase

Andrey Gromov|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2020

Liquid Crystal Research Advancements参考文献 1被引用 10

一句话总结

本文建立了描述多极规范理论的三维任意子相U(1) Haah码与三维量子向列相之间的对偶性。该对偶性将向列相中的晶格缺陷——位错和位错环——映射为规范理论中的守恒多极矩，通过源自多极对称性结构的守恒律解释了其受限运动性。

ABSTRACT

We describe a duality between multipole gauge theories and spatially ordered phases. Our main example is a duality between the multipole gauge theory description of the U(1) Haah code and smectic A phase in three spatial dimensions. We show how multipole symmetries restrict the mobility of dislocations and disclinations in smectic A phase. Finally, we exhibit a 2D version of the duality.

研究动机与目标

• 建立描述三维任意子相的U(1) Haah码与三维量子向列相之间的对偶性。
• 表明多极规范理论（MGTs）可作为熟知的空间有序相的对偶而被物理实现。
• 利用MGTs中的守恒律解释向列相中位错和位错环的受限运动性。
• 将该对偶性推广至二维类比，证明其在低维情形的一致性。
• 通过将其映射至具有涌现长度尺度和各向异性的系统，澄清抽象MGTs的物理诠释。

提出的方法

• 使用微分算子 $ D_I = q^i_I \partial_i + q^{ij}_I \partial_i\partial_j + \cdots $ 形式化多极规范理论（MGTs），以定义规范结构。
• 通过 $ E_I = \partial_0 A_I - D_I \Phi $ 定义电场与矢量势，其正则对易关系为 $ [A_I(x), E_J(x')] = i\delta(x - x') $。
• 通过 $ \delta A_I = D_I \alpha $，$ \delta \Phi = \dot{\alpha} $ 实现规范不变性，导出高斯定律 $ \sum_I D_I^\dagger E_I = \rho $。
• 构造作用量 $ S = \int \epsilon \sum_I E_I - \sum_{I \neq J} B_{IJ} $，其中 $ B_{IJ} = D_I A_J - D_J A_I $，该式推广了麦克斯韦理论。
• 通过 $ \theta $ 作为序参量，将U(1) Haah码的哈密顿量映射至向列相的作用量，其中 $ D_1^\dagger = \partial_w $，$ D_2^\dagger = \lambda \partial_u^2 $。
• 通过 $ \rho \propto [D_1, D_2]\theta = [\partial_w, \Delta_{u,v}]\theta $ 识别缺陷密度，其对应于向列相中的位错环密度。

实验结果

研究问题

• RQ1 U(1) Haah码能否通过duality映射至已知的物理相？
• RQ2 MGTs中的多极对称性如何约束向列相中拓扑缺陷的运动性？
• RQ3 MGTs中的涌现长度尺度起何作用？其在向列对偶中如何产生？
• RQ4 该duality的二维类比能否被一致地构建与诠释？
• RQ5 MGTs中的守恒律如何对应于弹性系统中缺陷的动力学？

主要发现

• U(1) Haah码与三维量子向列相对偶，其中向列相的层间距提供了MGT中的涌现长度尺度。
• 向列相中的位错环对应于MGT中的守恒电荷，其运动受限：仅能通过发射/吸收位错在$u$-$v$平面内移动。
• 位错被映射为规范理论中的偶极子，表现为平面子（planeons）：它们可沿偶极矩方向在$u$-$v$平面内移动，但在垂直方向完全静止。
• 该对偶性重现了已知的缺陷运动约束：位错完全可动（无滑移约束），而位错环在$u$和$v$方向均不可动。
• 对多项式 $ P_A $ 满足的守恒律 $ D_I P_A(x) = 0 $ 暗示了偶极与四极矩的守恒，这些守恒律强制执行了缺陷运动规则。
• 该形式化无法区分刃型与螺型位错，也无法描述位错环或纽结，限制了其拓扑描述能力。