[论文解读] A Dynamic Default Contagion Model: From Eisenberg-Noe to the Mean Field

Zachary Feinstein, Andreas Søjmark|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2019

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一句话总结

本文提出了一种动态违约传染模型，将Eisenberg–Noe银行间网络框架与平均场理论统一起来，证明在适当条件下，有限网络系统会收敛到一个适定的平均场极限。关键贡献在于提出了一类条件型McKean–Vlasov问题，该问题保持了网络拓扑结构，并通过共同噪声捕捉内生违约传播，从而弥合了两大系统性风险建模范式之间的鸿沟。

ABSTRACT

In this work we introduce a model of default contagion that combines the approaches of Eisenberg-Noe interbank networks and dynamic mean field interactions. The proposed contagion mechanism provides an endogenous rule for early defaults in a network of financial institutions. The main result is to demonstrate a mean field interaction that can be found as the limit of the finite bank system generated from a finite Eisenberg-Noe style network. In this way, we connect two previously disparate frameworks for systemic risk, and in turn we provide a bridge for exploiting recent advances in mean field analysis when modelling systemic risk. The mean field limit is shown to be well-posed and is identified as a certain conditional McKean-Vlasov type problem that respects the original network topology under suitable assumptions.

研究动机与目标

• 统一两种截然不同的系统性风险建模框架：Eisenberg–Noe银行间网络与平均场模型。
• 基于由随机资产价值触发的资产负债表违约，开发一种动态、随机的违约传染机制。
• 建立有限网络系统向尊重原始网络拓扑结构的平均场极限收敛的理论。
• 证明平均场极限是适定的，并在共同噪声下被表征为条件型McKean–Vlasov问题。
• 为将近期平均场分析的进展应用于系统性风险建模提供数学基础。

提出的方法

• 将Banerjee等人（2018）的动态网络模型扩展，引入基于实际资本的早期违约，当净值变为负时即发生违约。
• 使用具有特异性和共同噪声分量的广义几何布朗运动来建模银行间债务关系和随机资产价值。
• 通过令机构数量趋于无穷大，引入平均场极限，从而平均掉特异性噪声，同时保留违约传染带来的反馈效应。
• 将平均场极限导出为一类条件型McKean–Vlasov随机微分方程，其中损失过程依赖于给定共同噪声的条件分布。
• 利用M1拓扑中的紧致性与连续性论证，证明有限网络中损失过程向平均场极限的收敛性。
• 依赖路径唯一性与Yamada–Watanabe论证，确保极限分布关于共同噪声可测，从而验证了条件型McKean–Vlasov公式的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一种动态违约传染模型，将Eisenberg–Noe网络的资产负债表结构与平均场模型的渐近分析相结合？
• RQ2 随着机构数量的增加，银行间债务的有限网络系统是否收敛到一个明确定义的平均场极限？
• RQ3 在平均场极限中，网络拓扑结构如何被保持，特别是违约传播与反馈效应方面？
• RQ4 平均场极限的数学表征是什么？在何种条件下它是适定的？
• RQ5 该极限系统能否表示为一种尊重共同噪声并捕捉内生违约时序的条件型McKean–Vlasov问题？

主要发现

• 在适当的网络结构与噪声分量假设下，具有动态违约的有限网络模型在机构数量趋于无穷大时收敛到平均场极限。
• 平均场极限是适定的，且被表征为依赖于共同噪声$B_0$与银行特征经验分布的条件型McKean–Vlasov问题。
• 极限损失过程$\mathcal{L}_l(t)$被表达为给定共同噪声及其自身特征下，某家银行在时间$t$前违约的条件概率的期望。
• 个体银行的特异性噪声在极限中被平均掉，而违约传染带来的反馈效应仍依赖于共同噪声，从而保留了系统性反馈机制。
• 当$\mathbf{P}$并非事先关于$B_0$可测时，引入了一种松弛解概念，但路径唯一性确保在足够正则的情况下，极限分布确实关于$B_0$可测。
• 在右连左极函数空间的M1拓扑中，建立了损失过程$\mathcal{L}^n_l$向$\mathcal{L}_l$的收敛性，证实了极限的稳定性。