[论文解读] A dynamical systems analogue of Lichtenbaum's conjectures on special values of Hasse-Weil zeta functions

Christopher Deninger|ArXiv.org|May 29, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用 11

一句话总结

该论文在叶状动力系统背景下，建立了Hasse-Weil zeta函数特殊值的Lichtenbaum猜想的类比。通过使用zeta-正则化行列式、解析 torsion 以及Cheeger–Müller定理，证明了Ruelle zeta函数在s=0处的首项系数等于Reidemeister torsion，其结构与算术概形上Lichtenbaum公式的结构一致。

ABSTRACT

In recent years Lichtenbaum has conjectured a description for the special values of Hasse--Weil zeta functions in terms of ``Weil-étale cohomology''. In earlier papers we studied a class of foliated dynamical systems which had some similarities with arithmetic schemes. Assuming that certain zeta regularized determinants exist we now prove an analogue of Lichtenbaum's conjectures for a particularly simple class of such dynamical systems: Using results of Álvarez López and Kordyukov we express the leading coefficient $ζ^*_R (0)$ of the Ruelle zeta function $ζ_R (s)$ at $s = 0$ in terms of analytic torsion. We then apply the Cheeger--Müller theorem to replace the analytic torsion by the Reidemeister torsion with respect to harmonic bases. For our dynamical systems the latter can be expressed by the same recipe as the one in Lichtenbaum's conjectures.

研究动机与目标

• 将 Lichtenbaum 对 Hasse–Weil zeta 函数特殊值的猜想框架扩展到叶状动力系统的情形。
• 通过解析 torsion 建立 Ruelle zeta 函数在 s=0 处的首项系数与 Reidemeister torsion 之间的对应关系。
• 证明在此动力系统设定下，torsion 公式与 Lichtenbaum 对算术概形的猜想公式具有相同的结构。
• 通过几何与分析工具实现相同的行列式公式，为 Weil-étale 上同调提供动力系统对应版本。

提出的方法

• 使用 zeta-正则化行列式来定义 Ruelle zeta 函数在 s=0 处的首项系数。
• 应用 Cheeger–Müller 定理，将解析 torsion 与谐波基下的 Reidemeister torsion 等同。
• 构造一个上同调群的正合复形，其微分由一个上同调类 ψ 诱导。
• 利用标准正交的谐波基，计算 Reidemeister torsion 公式中正合复形的行列式。
• 建立上同调复形与涉及拉普拉斯算子核的模型复形之间的等距同构。
• 利用对偶性与 cap-同构，关联同调与上同调中的 torsion，使其与 Lichtenbaum 的 torsion 乘积公式一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 Lichtenbaum 对 zeta 函数特殊值的猜想公式结构是否可在动力系统背景下实现？
• RQ2 对于具有稠密叶的叶状动力系统，Ruelle zeta 函数在 s=0 处的首项系数是否等于 Reidemeister torsion？
• RQ3 在非有限动力设定下，解析 torsion 在多大程度上可用于实现 Lichtenbaum 型公式？
• RQ4 上同调中正合复形的行列式与动力系统中的 torsion 不变量之间有何关系？
• RQ5 此设定下的 torsion 公式是否可表示为与 Lichtenbaum 猜想中相同的 torsion 群乘积与行列式形式？

主要发现

• Ruelle zeta 函数在 s=0 处的首项系数 ζ*ₜ(0) 等于解析 torsion T(X,g) 的倒数。
• 解析 torsion T(X,g) 在谐波基下等于 Reidemeister torsion τ(X, h•)。
• Reidemeister torsion τ(X, f•) 等于各阶上同调群 torsion 个数 |Hⁱ(X, ℤ)ₜₒᵣₛ| 的乘积，其指数为 (−1)ⁱ。
• 当使用谐波基时，正合复形 (H•(X, ℝ), D, f•) 的行列式绝对值为 1，从而导出关键恒等式。
• 最终结果为 ζ*ₜ(0) = ∏ᵢ |Hⁱ(X, ℤ)ₜₒᵣₛ|^(−1)ⁱ / det(H•(X, ℝ), D, f•)，与 Lichtenbaum 公式一致。
• 该结果在 zeta-正则化行列式存在且流具有横截面或稠密叶的假设下成立。