[论文解读] A Dynamically Adaptive Sparse Grid Method for Quasi-Optimal Interpolation of Multidimensional Analytic Functions

Miroslav Stoyanov, Clayton Webster|arXiv (Cornell University)|Aug 5, 2015

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 24被引用 4

一句话总结

本论文提出了一种动态自适应稀疏网格方法，用于在无需事先知晓解析区域或Lebesgue常数的前提下，对多维解析函数实现准最优插值。通过迭代估计解析区域和算子范数，该方法利用贪心选择多项式空间以最小化节点数量，同时保持高精度，在参数型PDE中优于传统稀疏网格方案。

ABSTRACT

In this work we develop a dynamically adaptive sparse grids (SG) method for quasi-optimal interpolation of multidimensional analytic functions defined over a product of one dimensional bounded domains. The goal of such approach is to construct an interpolant in space that corresponds to the "best $M$-terms" based on sharp a priori estimate of polynomial coefficients. In the past, SG methods have been successful in achieving this, with a traditional construction that relies on the solution to a Knapsack problem: only the most profitable hierarchical surpluses are added to the SG. However, this approach requires additional sharp estimates related to the size of the analytic region and the norm of the interpolation operator, i.e., the Lebesgue constant. Instead, we present an iterative SG procedure that adaptively refines an estimate of the region and accounts for the effects of the Lebesgue constant. Our approach does not require any a priori knowledge of the analyticity or operator norm, is easily generalized to both affine and non-affine analytic functions, and can be applied to sparse grids build from one dimensional rules with arbitrary growth of the number of nodes. In several numerical examples, we utilize our dynamically adaptive SG to interpolate quantities of interest related to the solutions of parametrized elliptic and hyperbolic PDEs, and compare the performance of our quasi-optimal interpolant to several alternative SG schemes.

研究动机与目标

• 开发一种稀疏网格插值方法，实现准最优收敛，而无需依赖对解析区域或Lebesgue常数的先验估计。
• 通过基于误差估计自适应地细化多项式空间，解决高维函数逼近中的维数灾难问题。
• 使用嵌套的一维规则构建插值器，以最小化节点数量，同时保持精度。
• 将该方法推广至仿射和非仿射解析函数，以及任意一维插值规则的生长速率。
• 通过基于采样的插值而非昂贵的投影方法，实现在传统仿真软件中的实际应用。

提出的方法

• 该方法使用迭代过程估计先前插值器的解析区域和Lebesgue常数增长，避免依赖先验界。
• 通过两个向量（一个用于解析区域，一个用于Lebesgue常数增长）制定最优多项式空间的启发式估计。
• 算法选择最小的张量积规则集合以覆盖给定多项式空间，规避计算成本高昂的背包问题。
• 采用嵌套的一维规则（如Clenshaw-Curtis和Leja），并引入通过贪心最小化算子范数推导的新规则。
• 插值器通过一系列逐步细化的网格构建，重用所有先前采样点以确保效率。
• 该方法适用于参数型椭圆和双曲型PDE，数值结果表明其在非线性问题中表现稳健。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在无需先验估计函数解析区域或插值算子Lebesgue常数的前提下，使稀疏网格插值方法实现准最优性？
• RQ2 在缺乏此类先验信息的情况下，如何自适应地估计插值的最优多项式空间？
• RQ3 该方法在不同类型的参数型PDE（包括非线性和各向异性问题）中，能在多大程度上保持高收敛速率？
• RQ4 该方法能否推广至具有不同Lebesgue常数增长速率的任意一维插值规则？
• RQ5 与传统稀疏网格方案相比，该动态自适应方法在收敛速率和节点效率方面表现如何？

主要发现

• 该动态自适应方法在无需先验知识解析区域或Lebesgue常数的前提下，实现了多维解析函数插值的准最优收敛速率。
• 该方法在参数型椭圆和双曲型PDE中优于标准稀疏网格方案，包括非线性问题（如稳态Burgers方程）。
• 在Burgers方程测试案例中，该方法利用估计参数α̂ ≈ 1.22, 1.53, 0.25和β̂ ≈ -1.57, -1.71, 0.25（Clenshaw-Curtis节点）实现了对感兴趣的量的高精度插值，表现出各向异性衰减行为。
• 使用Leja和Clenshaw-Curtis节点的收敛行为相似，证实了该方法在不同一维规则族中的鲁棒性。
• 该方法成功识别了解决方案中的各向异性衰减模式，其中y₁、y₂和y₃在对流和扩散项中贡献各异。
• 通过迭代估计解析性和Lebesgue常数参数，有效构建了近似最优多项式空间，减少了所需节点数，同时保持了高精度。