[论文解读] A Dynamics Driven by Repeated Harmonic Perturbations

Hiroshi Tamura, Valentin A. Zagrebnov|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对单模量子谐振子在重复谐波扰动下作用的精确可解的 $W^{*}$-动力系统，表明尽管其动力学为哈密顿、准自由的，系统仍会弛豫至一个具有显式熵产生的稳态。该弛豫源于与无限个相同振子链的重复相互作用，且在短时间相互作用极限下，动力学表现出普遍性。

ABSTRACT

We propose an exactly soluble W*-dynamical system generated by repeated harmonic perturbations of the one-mode quantum oscillator. In the present paper we deal with the case of isolated system. Although dynamics is Hamiltonian and quasi-free, it produces relaxation of initial state of the system to the steady state in the large-time limit. The relaxation is accompanied by the entropy production and we found explicitly the rate for it. Besides, we study evolution of subsystems to elucidate their eventual correlations and convergence to equilibrium state. Finally we prove a universality of the dynamics driven by repeated harmonic perturbations in a certain short-time interaction limit.

研究动机与目标

• 构建一个由重复谐波扰动驱动的单模量子谐振子的精确可解 $W^{*}$-动力系统。
• 分析在长时间极限下，尽管动力学为幺正、准自由的，系统初始态如何弛豫至稳态。
• 显式计算弛豫过程中的熵产生速率。
• 研究子系统的演化及其最终相关性与趋向平衡态的行为。
• 证明在短时间相互作用极限下动力学的普遍性。

提出的方法

• 将系统建模为单模量子谐振子，在等时间隔下反复与无限个相同振子的链相互作用。
• 使用 Fock 空间表示法，对系统及每个链上组件使用规范对易关系（CCR），定义湮灭与产生算符 $a, a^*$。
• 将总希尔伯特空间构造为有限张量积 $\mathscr{H}^{(N)} = \mathscr{F}^{\otimes(N+1)}$（$N$ 次相互作用），然后取 $N \to \infty$ 的极限。
• 定义系统的哈密顿量 $H_{\mathcal{S}} = E b_0^* b_0$，以及每个链振子的 $\epsilon$-间隔哈密顿量，通过在离散时间耦合 $\mathcal{S}$ 与 $\mathcal{S}_k$ 的相互作用项。
• 采用 Weyl 代数与 $W^{*}$-动力系统框架，确保时间演化在 $w^*$-连续性，避免在玻色子系统中使用 $C^*$-方法时出现的问题。
• 利用 Araki-Segal 定理通过特征函数 $E_\omega(\zeta) = \omega(W(\zeta))$ 描述态，从而实现对弱*-拓扑收敛性的分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个哈密顿、准自由的量子系统在重复谐波扰动下是否能表现出弛豫与熵产生？
• RQ2 此类系统中熵产生的显式速率是多少？
• RQ3 子系统如何随时间演化并产生关联？它们是否趋向于一个共同的平衡态？
• RQ4 在短时间相互作用极限下，长时间动力学是否具有普遍性？
• RQ5 尽管时间演化为幺正的，$W^{*}$-动力系统框架如何捕捉不可逆行为？

主要发现

• 尽管动力学为哈密顿与准自由的，系统在长时间极限下仍会弛豫至稳态。
• 熵产生以显式计算的速率发生，量化了不可逆行为。
• 子系统趋向于平衡态，其关联性通过有限-$N$ 近似下约化密度矩阵的演化得以分析。
• 在短时间相互作用极限下，动力学具有普遍性，即当适当缩放时，长时间行为与相互作用持续时间无关。
• $W^{*}$-动力系统框架成功描述了不可逆弛豫，具有 $w^*$-连续的时间演化与弱*-收敛的态。
• 特征函数 $E_\omega(\zeta)$ 完全决定了正规态，且态的弱*-收敛等价于这些函数的收敛。