[论文解读] A Factorization Scheme for Some Discrete Hartley Transform Matrices

H. M. de Oliveira, Renato J. Cintra+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2015

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一句话总结

本文提出了一种离散哈特利变换（DHT）矩阵的分解方案，针对长度为 N ∈ {3, 5, 6, 12, 24} 的情况实现了理论上的最小乘法复杂度。通过利用DHT核的对称性，并将变换矩阵分解为分层操作——预加法、缩放和后加法，推导出与实乘法下限完全匹配的快速算法，从而在低功耗数字信号处理器中实现高效计算。

ABSTRACT

Discrete transforms such as the discrete Fourier transform (DFT) and the discrete Hartley transform (DHT) are important tools in numerical analysis. The successful application of transform techniques relies on the existence of efficient fast transforms. In this paper some fast algorithms are derived. The theoretical lower bound on the multiplicative complexity for the DFT/DHT are achieved. The approach is based on the factorization of DHT matrices. Algorithms for short blocklengths such as $N \in \{3, 5, 6, 12, 24 \}$ are presented.

研究动机与目标

• 推导出能够实现乘法复杂度理论下限的离散哈特利变换（DHT）快速算法。
• 解决在短块长情况下传统方法可能非最优的高效DHT算法设计挑战。
• 利用DHT核的自逆性和对称性特性，简化矩阵分解并降低计算成本。
• 建立一个可推广的框架，用于构建适用于小N值的低复杂度DHT算法。
• 通过最小化实数乘法和加法，实现低功耗数字信号处理器中的高效实现。

提出的方法

• 将DHT矩阵分解为表示预加法、对无理常数（如 (√3−1)/2）缩放以及后加法的稀疏矩阵的乘积。
• 利用DHT核中的对称性：具有相同绝对值的元素允许通过类似Hadamard的变换进行列配对。
• 通过分离整数部分（通过矩阵L）并将剩余的无理分量平衡至新矩阵H′′′，实现矩阵分解，后者进一步被分解。
• 算法采用分层结构：预加法矩阵（A₁, A₂, ...）、缩放矩阵（B₁, B₂, ...）和后加法矩阵（C₁, C₂, ...），形成递归分解。
• 最终变换表示为这些矩阵的复合加上一个校正矩阵L，得到 V = (C B A + L) A₁ v。
• 通过递归嵌入较小的DHT算法（3点、6点、12点）将该方法推广至N = 12和24。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为小块长构建达到乘法复杂度理论下限的快速DHT算法？
• RQ2 如何利用DHT核的固有对称性和自逆特性来最小化算术运算？
• RQ3 何种分解策略能够实现DHT矩阵向低复杂度组件（加法、乘法和稀疏运算）的分解？
• RQ4 能否建立一个通用框架，用于在多个块长上构建最小复杂度的DHT算法？
• RQ5 对于N = 12和N = 24，此类最小乘法DHT算法的加法复杂度是多少？

主要发现

• 所提出的3点DHT算法仅需1次实数乘法和10次加法，达到乘法复杂度的理论下限。
• 6点DHT算法使用2次乘法和20次加法，与N=6时的最小乘法复杂度一致。
• 12点DHT算法实现4次乘法和52次加法，符合μ(N)的理论下限。
• 24点DHT算法实现12次乘法和138次加法，证实达到了最小乘法复杂度。
• 该分解框架可推广至多个块长，并支持将较小DHT变换递归嵌入。
• 由于乘法次数极少且计算结构清晰，这些算法适用于低功耗数字信号处理。