[论文解读] A family of (2+1)-dimensional hydrodynamic type systems possessing pseudopotential

Alexander Odesskii|ArXiv.org|Apr 26, 2007

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 10被引用 7

一句话总结

该论文通过利用具有有理系数的线性PDE系统的解，构建了一个包含n ≥ 2个因变量的(2+1)维可积流体类型系统的一般族。关键贡献是对其具有标量伪势的此类系统进行了完整分类，其中n=2的情形通过一个有理线性PDE系统三个线性无关解的通解，解决了可积性分类问题；对于n > 2的情形引入了椭圆类比。

ABSTRACT

We construct a family of integrable hydrodynamic type systems with three independent and n>1 dependent variables in terms of solutions of linear system of PDEs with rational coefficients. We choose the existence of a pseudopotential as a criterion of integrability. In the case n=2 this family is a general solution of the classification problem for such systems. We give also an elliptic analog of this family in the case n>2.

研究动机与目标

• 为具有n=2个分量的可积(2+1)维流体类型系统提供分类问题的通解。
• 通过伪势准则将分类结果推广至具有n>2个分量的系统。
• 利用雅可比θ函数和模参数，构造该族系统在n>2时的椭圆类比。
• 建立可积系统与具有有理系数的线性PDE解之间的对应关系。
• 证明对于n=2系统，标量伪势的存在性完全刻画了可积性。

提出的方法

• 该方法通过具有有理系数的线性PDE系统解来构造可积系统，其中系统的结构由三个线性无关解决定。
• 对于n=2，系统源自一个有理线性PDE的三维解空间，GL₃对独立变量t, x, y的作用构成对称性。
• 伪势通过参数化系统(Ψ_y = F, Ψ_t = G, Ψ_x = H)定义，其相容性条件导出关于u_i导数的拟线性系统。
• 对于椭圆情形，使用雅可比θ函数θ(z; τ)，ϕ, ϕ₁, ϕ₂被选为在θ空间Θₙ,ᵤ₁₊⋯₊ᵤₙ₋ᵋ(τ)中的线性无关解。
• 通过求解f(ξ, u)和g(ξ, u)的PDE，以q(ξ, u)表示，其中fξ = ϕ₁/ϕ，gξ = ϕ₂/ϕ，且fuᵢ, Guill, 和fξguᵢ − gξfuᵢ通过ϕ, ϕ₁, ϕ₂及辅助函数μᵢ, νᵢ, ϑᵢ表达。
• 通过证明函数空间{fuᵢ, guᵢ, fξguᵢ − gξfuᵢ}构成n维空间，验证了伪势系统的相容性，满足引理2。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为任意n ≥ 2构造一个具有伪势的(2+1)维流体类型系统的一般族？
• RQ2 通过有理线性PDE解构造的系统族是否为n=2时可积性分类问题的完整解？
• RQ3 能否利用雅可比θ函数和模参数，将该构造推广为椭圆类比？
• RQ4 GL₃对称性在n=2情形的解空间中起什么作用？
• RQ5 在代数曲线K = {(u,v) | S(u,v)=0}的亏格如何影响可积系统的结构？

主要发现

• 对于n=2，通过有理线性PDE系统三个线性无关解构造的系统族，提供了可积流体类型系统分类问题的通解。
• 该系统完全由标量伪势的存在性表征，且该条件对n=2系统而言既是必要条件也是充分条件。
• 对于n>2，该构造通过具有有理系数的线性PDE系统的(n+1)维解空间得到推广。
• 通过雅可比θ函数构造了椭圆类比，其中ϕ, ϕ₁, ϕ₂是θ空间Θₙ,ᵤ₁₊⋯₊ᵤₙ₋ᵋ(τ)中的线性无关解，且满足特定微分系统。
• 伪势系统的相容性由引理2保证，即函数空间{fuᵢ, guᵢ, fξguᵢ − gξfuᵢ}的n维性质。
• 由椭圆伪势导出的系统(4.43)在平移变换uᵢ → uᵢ + v下保持不变，且当n=3时退化为平凡关系，表明n>3是实现非平凡结构的必要条件。