[论文解读] A family of conforming mixed finite elements for linear elasticity on triangular grids

Jun Hu, Shangyou Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 29, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 34被引用 48

一句话总结

该论文提出了一类用于三角形网格上的线弹性问题的新混合有限元族，采用 $C^0$-$P_k$ 应力逼近，并在每个内部边处增强 $(k-1)$ 个 $H(\operatorname{div})$ 边界泡函数，同时对位移使用不连续的 $P_{k-1}$ 空间，其中 $k \geq 3$。关键贡献在于提出了一种新颖的稳定性证明方法，无需使用 Fortin 算子，从而实现了最优的 $P_k$ 应力和 $P_{k-1}$ 位移收敛率，且应力基函数的构造方式显著简化于先前的 Arnold-Winther 元素。

ABSTRACT

This paper presents a family of mixed finite elements on triangular grids for solving the classical Hellinger-Reissner mixed problem of the elasticity equations. In these elements, the matrix-valued stress field is approximated by the full $C^0$-$P_k$ space enriched by $(k-1)$ $H(\d)$ edge bubble functions on each internal edge, while the displacement field by the full discontinuous $P_{k-1}$ vector-valued space, for the polynomial degree $k\ge 3$. The main challenge is to find the correct stress finite element space matching the full $C^{-1}$-$P_{k-1}$ displacement space. The discrete stability analysis for the inf-sup condition does not rely on the usual Fortin operator, which is difficult to construct. It is done by characterizing the divergence of local stress space which covers the $P_{k-1}$ space of displacement orthogonal to the local rigid-motion. The well-posedness condition and the optimal a priori error estimate are proved for this family of finite elements. Numerical tests are presented to confirm the theoretical results.

研究动机与目标

• 开发一种在三角形网格上稳定且符合要求的混合有限元方法，用于线弹性问题，其应力基函数构造方式相比现有方法更为简化。
• 克服在不依赖 Fortin 算子的前提下证明离散 inf-sup 稳定性的挑战，因为对于三角形单元而言，Fortin 算子的构造极为困难。
• 通过使用最小且计算高效的应力空间，实现应力（$P_k$）和位移（$P_{k-1}$）逼近的最优收敛率。
• 消除原始 Arnold-Winther 元素中无近似能力的 $P_{k+1}$-泡函数，从而减少自由度和复杂性。

提出的方法

• 应力场通过完整的 $C^0$-$P_k$ 空间进行逼近，并在每个内部边上增强 $(k-1)$ 个 $H(\operatorname{div})$ 边界泡函数。
• 位移场通过不连续的向量值 $P_{k-1}$ 空间进行逼近，其中 $k \geq 3$。
• 通过刻画局部应力空间的散度以覆盖与局部刚体运动正交的 $P_{k-1}$ 空间，从而证明稳定性，避免了对 Fortin 算子的需求。
• 该方法利用宏观单元技术，并基于局部散度性质的构造性证明，建立了离散 inf-sup 条件。
• 证明应力空间是对称 $H(\operatorname{div})$-$P_k$ 张量的子空间，从而避免了在 Arnold-Winther 元素中使用的高阶 $P_{k+1}$ 泡函数。
• 通过直接从标准拉格朗日 $P_k$ 有限元的基函数推导，简化了应力空间的基函数构造。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不依赖 Fortin 算子的前提下，构造出在三角形网格上用于线弹性问题的稳定混合有限元方法？
• RQ2 是否能够通过使用比 Arnold-Winther 元素更简单的应力空间，实现应力的最优 $P_k$ 收敛率和位移的 $P_{k-1}$ 收敛率？
• RQ3 是否可以通过避免使用无近似能力的高阶泡函数，更简便地构造应力空间的基函数？
• RQ4 与现有混合元相比，所提出的方法是否在保持最优收敛率的同时减少了自由度？

主要发现

• 所提出的方法在数值实验中实现了应力的最优 $P_k$ 收敛率和位移的 $P_{k-1}$ 收敛率，对 $k=3,4,5$ 分别观察到 3、4 和 5 阶收敛率。
• 对于 $k=3$，$P_3$ 单元在所有范数下均表现出三阶收敛，证实了理论上的最优收敛率。
• $P_4$ 单元在所有范数下均表现出四阶收敛，与理论预测一致，并在收敛速度上优于 Arnold-Winther 的 $P_3$ 单元。
• $P_5$ 单元在 $H(\operatorname{div})$ 范数下对应力表现出五阶收敛，在 $L^2$ 范数下表现出六阶收敛，与理论预期一致。
• 新提出的 $P_3$ 单元在压缩泡函数后，其自由度数量与 Arnold-Winther $P_3$ 单元相近，但收敛阶数高出一个数量级。
• 数值结果证实，与 Arnold-Winther 元素相比，新方法在计算上更简单、更高效，因为它避免了使用无近似能力的 $P_{k+1}$-泡函数。