[论文解读] A Family of ESDIRK Integration Methods

John Bagterp Jørgensen, Morten Kristensen+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2018

Numerical methods for differential equations参考文献 27被引用 7

一句话总结

本文提出了一类用于求解刚性常微分方程和微分代数方程的显式单一对角隐Runge-Kutta（ESDIRK）方法，阶数分别为1(2)、2(3)和3(4)，适用于低至中等精度需求。这些方法具有A-稳定性和L-稳定性，包含嵌入式误差估计器以实现自适应步长控制，并具备连续延拓功能，可应用于包含离散事件的混合系统。

ABSTRACT

In this paper we derive and analyze the properties of explicit singly diagonal implicit Runge-Kutta (ESDIRK) integration methods. We discuss the principles for construction of Runge-Kutta methods with embedded methods of different order for error estimation and continuous extensions for discrete event location. These principles are used to derive a family of ESDIRK integration methods with error estimators and continuous-extensions. The orders of the advancing method (and error estimator) are 1(2), 2(3) and 3(4), respectively. These methods are suitable for obtaining low to medium accuracy solutions of systems of ordinary differential equations as well as index-1 differential algebraic equations. The continuous extensions facilitates solution of hybrid systems with discrete-events. Other ESDIRK methods due to Kværnø are equipped with continuous-extensions as well to make them applicable to hybrid systems with discrete events.

研究动机与目标

• 开发适用于常微分方程（ODE）和索引-1微分代数方程（DAE）刚性系统的ESDIRK积分方法族。
• 确保方法具有A-和L-稳定性，并具备刚性精确性，以可靠地积分刚性问题。
• 引入阶数比主方法高一级的嵌入式方法，以实现可靠的局部误差估计。
• 为方法配备连续延拓，以实现对包含离散事件的混合系统中解的精确求解。
• 提供ESDIRK方法的系统化构造框架，以实现理想的稳定性与精度特性。

提出的方法

• 作者利用Butcher的代数阶条件推导ESDIRK方法，确保其具有A-和L-稳定性及刚性精确性阶段。
• 方法通过嵌入对构造，其中主方法阶数为$p$，嵌入方法阶数为$p+1$，从而实现局部误差估计。
• 连续延拓通过与主方法阶数一致的方式推导，以支持混合系统中事件定位的密集输出。
• 每个方法的第一阶段设置为前一时间步的最后一个阶段（FSAL性质），从而将有效阶段数减少至$s-1$，提升计算效率。
• Butcher表构造满足阶条件，系数经优化以兼顾稳定性与精度，包括$eta$-稳定性及刚性精确性条件。
• 通过稳定性分析与阶条件比较对方法进行验证，连续延拓满足与基方法相同的阶数。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统化地构造ESDIRK方法，以实现A-和L-稳定性，同时保持刚性精确性？
• RQ2 在刚性ODE和DAE的ESDIRK方法中，阶数、稳定性与计算成本之间应如何实现最优平衡？
• RQ3 如何设计连续延拓以保持基方法的阶数，并支持离散事件检测？
• RQ4 当嵌入方法阶数为$p+1$但其本身不具备A-或L-稳定性时，对误差估计有何影响？
• RQ5 与现有方法如DIRK和BDF相比，ESDIRK方法在处理具有不连续性的刚性系统时，其效率与可靠性表现如何？

主要发现

• ESDIRK12、ESDIRK23和ESDIRK34方法具有A-和L-稳定性，刚性精确，且嵌入式误差估计器阶数为$p+1$，可实现可靠的自适应步长控制。
• 这些方法的连续延拓阶数与基方法相同，可实现高精度的密集输出，适用于混合系统中离散事件的定位。
• ESDIRK43a和ESDIRK32c因求积点位于当前时间步区间之外（$c_i > 1$），可靠性受损，故不适用于一般用途。
• ESDIRK45c因嵌入方法阶数存在不确定性，导致步长控制行为不可预测，故被舍弃。
• 其余方法——ESDIRK54a、ESDIRK54b、ESDIRK32a、ESDIRK32b和ESDIRK32c——具备连续延拓，适用于刚性ODE和索引-1 DAE的低至中等精度求解。