[论文解读] A family of functional inequalities: Lojasiewicz inequalities and displacement convex functions

Jérôme Bolte, Adrien Blanchet|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用 4

一句话总结

本文在蒙日-安托尼夫柯夫度量的概率空间中，建立了位势凸泛函的梯度型与函数型洛阿施维茨不等式之间的等价性。证明了对于λ-凸泛函，梯度型洛阿施维茨不等式蕴含梯度流的收敛性，并特例化地恢复了奥托-维拉尼关于对数索伯列夫不等式与塔拉古兰德不等式之间等价性的结果，同时引入了幂型熵下Gagliardo-Nirenberg不等式与非线性塔拉古兰德不等式之间新的等价关系。

ABSTRACT

For displacement convex functionals in the probability space equip\-ped with the Monge-Kantorovich metric we prove the equivalence between the gradient and functional type Łoja\-sie\-wicz inequalities. \chg{We also discuss the more general case of $λ$-convex functions and we provide a general convergence theorem for the corresponding gradient dynamics. Specialising our results to the Boltzmann entropy, we recover Otto-Villani's theorem asserting the equivalence between logarithmic Sobolev and Talagrand's inequalities. The choice of power-type entropies shows a new equivalence between Gagliardo-Nirenberg inequality and a nonlinear Talagrand inequality. Some nonconvex results and other types of equivalences are discussed.

研究动机与目标

• 建立一个系统框架，将概率测度空间中的洛阿施维茨不等式与梯度流联系起来。
• 证明λ-凸泛函的梯度型与函数型洛阿施维茨不等式之间的等价性。
• 将已知的函数不等式等价关系（如对数索伯列夫与塔拉古兰德不等式）作为一般框架的特例加以恢复。
• 通过幂型熵识别出新的等价关系，例如Gagliardo-Nirenberg不等式与非线性塔拉古兰德不等式之间的等价性。
• 在最优传输设定下，为满足洛阿施维茨型条件的梯度动力学提供一个一般收敛定理。

提出的方法

• 在概率测度空间中引入两种洛阿施维茨不等式：一种将能量增长与蒙日-安托尼夫柯夫距离关联（函数型），另一种将能量值与其梯度斜率关联（梯度型）。
• 利用蒙日-安托尼夫柯夫度量下概率空间的黎曼结构，严谨地定义度量导数、次微分与斜率。
• 通过沿广义测地线的λ-凸性概念，刻画泛函及其次微分在Wasserstein空间中的行为。
• 采用约化次微分与最小范数次梯度，定义并分析度量斜率与梯度流动力学。
• 通过特例化到Boltzmann熵与幂型熵，将抽象的洛阿施维茨不等式转化为具体的函数不等式。
• 利用洛阿施维茨不等式之间的等价性，推导出梯度流的收敛速率，特别是在存在连续多个平衡点的情况下。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，位势凸泛函的梯度型与函数型洛阿施维茨不等式等价？
• RQ2 洛阿施维茨不等式如何用于推导Wasserstein空间中梯度流的收敛速率？
• RQ3 当该框架特例化到Boltzmann熵时，会涌现出哪些函数不等式等价关系？
• RQ4 通过考虑幂型熵，能否推导出新的函数不等式等价关系？
• RQ5 在非凸设定下，塔拉古兰德型与对数索伯列夫型不等式之间的逆蕴含关系在多大程度上成立？

主要发现

• 梯度型洛阿施维茨不等式蕴含梯度流的有限长度轨迹，从而确保收敛至极小化点。
• 对于λ-凸泛函，梯度型与函数型洛阿施维茨不等式等价，为收敛性分析提供了统一框架。
• 特例化到Boltzmann熵时，可恢复奥托-维拉尼定理，即对数索伯列夫不等式与塔拉古兰德不等式等价。
• 对于幂型熵，该框架导出了Gagliardo-Nirenberg不等式与非线性塔拉古兰德型不等式之间的新等价关系。
• 通过新证明表明，对于具有有界L∞变分的凸势能，从塔拉古兰德到对数索伯列夫不等式的逆蕴含关系成立。
• 即使存在多个极小化点，也在洛阿施维茨型条件下建立了梯度动力学的一般收敛定理。