[论文解读] A Family of Generalized Beta Distributions for Income

Jungsywan H. Sepanski, Lingji Kong|ArXiv.org|Oct 25, 2007

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 13被引用 6

一句话总结

本文使用美国人口普查局的分组数据，通过最大似然估计法评估了一类广义贝塔分布（包括对数F分布、偏t分布、贝塔-威布尔分布和贝塔-指数分布）对美国家庭收入数据的建模效果。对数F分布和第二类广义贝塔分布（GB2）拟合效果最佳，其中对数F分布在线性卡方检验和绝对误差度量中表现最优，而贝塔-正态分布表现最差，原因在于其对偏态收入数据的对称尾部假设。

ABSTRACT

The mathematical properties of a family of generalized beta distribution, including beta-normal, skewed-t, log-F, beta-exponential, beta-Weibull distributions have recently been studied in several publications. This paper applies these distributions to the modeling of the size distribution of income and computes the maximum likelihood estimation estimates of parameters. Their performances are compared to the widely used generalized beta distributions of the first and second types in terms of measures of goodness of fit.

研究动机与目标

• 评估广义贝塔分布族在建模美国家庭收入规模分布方面的表现。
• 使用拟合优度统计量将这些分布与GB1和GB2等广泛应用的模型进行比较。
• 对美国人口普查局提供的分组收入数据应用最大似然估计法。
• 评估对数F分布、偏t分布和贝塔-正态分布等在收入建模中的数学可处理性与拟合质量。
• 确定哪一分布能最准确地反映2003–2005年间的收入不平等模式。

提出的方法

• 广义贝塔-F分布通过将一个贝塔分布变量经由累积分布函数F(x)进行变换而定义，其概率密度函数为g_F(x) = [B(α,β)]⁻¹ f(x)[F(x)]^(α−1)[1−F(x)]^(β−1)。
• 对分组收入数据应用最大似然估计法，其中第一组的下限处累积分布函数值设为0，最后一组的上限处设为1。
• 由于似然方程无闭式解，参数估计通过迭代数值优化方法完成。
• 拟合优度通过残差平方和（SSE）、绝对偏差和（SAE）以及卡方统计量进行评估。
• 研究使用了2003–2005年美国人口普查局的数据，收入按区间分组，相对频率通过组均值和频数近似计算。
• 对数F分布和GB2分布被发现特别适合，因其具有幂律和指数尾部特性，与Jones（2004）的建议一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在2003至2005年美国家庭收入数据中，哪一种广义贝塔-F分布在线性卡方检验、SSE和SAE统计量下拟合效果最佳？
• RQ2 对数F分布与第二类广义贝塔分布（GB2）及其他族内成员相比，在拟合偏态收入数据时表现如何？
• RQ3 尽管贝塔-正态分布形状灵活，为何其表现最差？其对称尾部假设如何影响其在偏态收入分布上的拟合效果？
• RQ4 四参数形式的偏t分布和对数F分布相较于其两参数版本，在拟合效果上有多大提升？
• RQ5 广义贝塔-F框架在多大程度上能有效统一并扩展现有的收入分布模型，如GB1、GB2和Singh-Maddala模型？

主要发现

• 对数F分布整体拟合效果最佳，在2005年达到最低的卡方统计量（1525.312）和最低的SAE（0.105）。
• 第二类广义贝塔分布（GB2）表现第二佳，2005年SSE最低（0.429），且在SAE和卡方统计量方面表现良好。
• 贝塔-正态分布表现最差，2005年SSE高达9.002×10⁴，SAE为0.364，原因在于其对偏态收入数据的对称尾部假设。
• 两参数偏t分布排名倒数第二，SSE和SAE高于大多数其他分布，尽管优于贝塔-正态分布。
• 贝塔-指数分布和贝塔-威布尔分布在所有拟合优度度量中均优于GB1，表明其具有更高的灵活性。
• 2005年估计的平均收入为7.040（单位：10,000美元），对数F分布和GB2分布的估计均值最接近该观测值。