[论文解读] A family of inversion formulas in Thermoacoustic Tomography

Linh V. Nguyen|ArXiv.org|Feb 15, 2009

Photoacoustic and Ultrasonic Imaging参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文提出了一类适用于常数声速下光声计算机断层扫描（TAT）的统一闭式反演公式族，涵盖时域与频域公式。通过利用贝塞尔函数与交织算子，该方法统一并推广了既有的滤波反投影型公式，包括Finch、Patch、Rakesh、Kunyansky以及Xu-Wang的公式，同时澄清了其在不同维数与数据类型下的等价性问题。

ABSTRACT

We present a family of closed form inversion formulas in thermoacoustic tomography in the case of a constant sound speed. The formulas are presented in both time-domain and frequency-domain versions. As special cases, they imply most of the previously known filtered backprojection type formulas.

研究动机与目标

• 解决先前推导的光声计算机断层扫描反演公式之间等价性与关系的未解问题。
• 将现有的闭式反演公式（特别是Finch-Patch-Rakesh、Kunyansky以及Xu-Wang的公式）统一到一个连贯的数学框架中。
• 将反演公式的适用范围扩展至奇数与偶数维，包括有限时间数据重建。
• 通过傅里叶变换与贝塞尔函数变换，建立时域与频域反演公式之间的联系。
• 从诺伊曼型边界数据（压力法向导数）推导反演公式，扩展以往仅限于狄利克雷数据的研究。

提出的方法

• 通过热声数据偶延拓的傅里叶变换（记为 $\hat{g}_0(y,\lambda)$）在频域中推导出一族反演公式。
• 引入基于第一类贝塞尔函数的核函数 $G(s,\lambda) = \frac{i}{4}\left(\frac{\lambda}{2\pi s}\right)^{\frac{n-2}{2}}H^{(1)}_{\frac{n-2}{2}}(\lambda s)$。
• 应用交织算子 $\mathcal{W}$，将波动方程转化为达布方程，从而实现向球均值算子的转换。
• 利用球面Radon变换 $\mathcal{R}_S$ 与球均值算子 $\mathcal{M}_S$，将测量数据与初始压力分布联系起来。
• 利用核函数 $K(x,z,\lambda)$ 的对称性及 $\mathcal{W}$ 与其伴随算子 $\mathcal{W}^*$ 之间的对偶性，推导出反演恒等式。
• 应用分部积分法与傅里叶-Bessel变换反演技术，从数据 $g$ 恢复初始函数 $f(x)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 偶数维光声计算机断层扫描中，有限时间与无限时间反演公式之间存在何种关系？
• RQ2 如何将既有的反演公式（如Kunyansky与Xu-Wang的公式）统一于同一数学框架下？
• RQ3 同一组公式族是否也能从诺伊曼型边界数据（压力法向导数）中恢复 $f(x)$，而不仅限于狄利克雷数据？
• RQ4 贝塞尔函数与交织算子 $\mathcal{W}$ 在跨所有维数构建统一反演公式中起何种作用？
• RQ5 在何种条件下，算子 $\mathcal{W}\frac{d}{ds}\mathcal{W}^*$ 等价于单位算子，这与反演有何关联？

主要发现

• 所提出的反演公式族包含了所有先前已知的滤波反投影型公式作为特例，包括Finch、Patch、Rakesh（奇数维）、Kunyansky（所有维数）以及Xu-Wang（n=3）的公式。
• 对于偶数维，该方法提供了有限时间反演公式，其在适当条件下与Finch、Haltmeier与Rakesh的无限时间公式等价。
• 核函数 $G(s,\lambda)$ 确保反演公式对所有维数 $n \geq 2$ 有效，其光滑性取决于奇偶性：奇数 $n$ 时为 $C^\infty$，偶数 $n$ 时在零点外为 $C^\infty$ 且具有对数奇点。
• 交织算子 $\mathcal{W}$ 将二阶导数转化为贝塞尔型算子，从而通过球均值与傅里叶-Bessel变换推导出反演公式。
• 核函数 $K(x,z,\lambda)$ 的对称性意味着 $\int_{\mathbb{R}} K(x,z,\lambda) d\lambda = \int_{\mathbb{R}} K(z,x,\lambda) d\lambda$，这构成了反演中所用对偶性的基础。
• 推导出诺伊曼数据的反演公式：$f(x) = 2\int_S \mathcal{W}(\partial_{\nu_y}u)(y, |x-y|) d\sigma(y)$，将先前结果推广至一般 $n$ 维与诺伊曼型测量。