[论文解读] A family of natural equilibrium measures for Sinai billiard flows

Jérôme Carrand|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2022

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 2

一句话总结

本文通过将流的平衡态与不连续的打点映射 T 的平衡态联系起来，为有限横贯的二维环面上的西奈打点流建立了一类自然的平衡测度。利用在各向异性巴拿赫空间上的转移算子，作者证明：对于满足温和条件的分段霍尔德势函数，平衡态是唯一的、伯努利的、T-自适应的，并具有全支撑。相应的流不变测度被证明是伯努利的且与流自适应，从而将最大熵测度和几何势函数的结果推广至更广的势函数类。

ABSTRACT

The Sinai billiard flow on the two-torus, i.e., the periodic Lorentz gas, is a continuous flow, but it is not everywhere differentiable. Assuming finite horizon, we relate the equilibrium states of the flow with those of the Sinai billiard map $T$ -- which is a discontinuous map. We propose a definition for the topological pressure $P_*(T,g)$ associated to a potential $g$. We prove that for any piecewise H\"older potential $g$ satisfying a mild assumption, $P_*(T,g)$ is equal to the definitions of Bowen using spanning or separating sets. We give sufficient conditions under which a potential gives rise to equilibrium states for the Sinai billiard map. We prove that in this case the equilibrium state $\mu_g$ is unique, Bernoulli, adapted and gives positive measure to all nonempty open sets. For this, we make use of a well chosen transfer operator acting on anisotropic Banach spaces, and construct the measure by pairing its maximal eigenvectors. Last, we prove that the flow invariant probability measure $\bar \mu_g$, obtained by taking the product of $\mu_g$ with the Lebesgue measure along orbits, is Bernoulli and flow adapted. We give examples of billiard tables for which there exists an open set of potentials satisfying those sufficient conditions.

研究动机与目标

• 为在分段霍尔德势函数满足温和条件时，西奈打点流的平衡态的存在性与唯一性提供证明。
• 通过自然的提升构造，将不连续打点映射 T 的平衡态与连续流 ϕt 的平衡态相联系。
• 证明所得到的流不变测度是伯努利的且与流自适应，从而确保流的雅可比行列式的对数可积。
• 将平衡态理论从几何势函数（例如 −t log JuT）扩展至更广的势函数类。

提出的方法

• 为不连续映射 T 定义拓扑压 P∗(T, g)，使用分离集或张集，并在温和假设下证明其与鲍文定义的等价性。
• 在各向异性巴拿赫空间上使用合适的转移算子构造最大特征向量，进而通过配对定义平衡态 µg。
• 证明平衡态 µg 是唯一的、伯努利的、T-自适应的，并将正测度赋予所有非空开集。
• 通过与轨道上勒贝格测度的乘积，将 µg 提升至流，得到流不变测度 ¯µg。
• 通过验证流的微分对数的可积性，证明 ¯µg 是伯努利的且与流自适应。
• 识别出势函数 g = −htop(ϕ1)τ 对应于流的最大熵测度，从而与 T 的平衡态建立双射关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，分段霍尔德势函数 g 使得西奈打点映射 T 具有平衡态？
• RQ2 能否通过在各向异性巴拿赫空间上的转移算子，唯一构造出 T 的平衡态 µg，并证明其为伯努利的且 T-自适应的？
• RQ3 通过将 µg 提升至流所得到的流不变测度 ¯µg 是否也是伯努利的且与流自适应的？
• RQ4 满足充分条件的势函数是否在典型打点桌面上的势函数空间中构成一个开集？
• RQ5 T 的平衡态与流 ϕt 的最大熵测度之间有何关系？

主要发现

• 对于任意满足温和假设的分段霍尔德势函数 g，拓扑压 P∗(T, g) 等于通过张集或分离集定义的鲍文压强。
• 映射 T 的平衡态 µg 是唯一的、伯努利的、T-自适应的，并将正测度赋予所有非空开集。
• 通过将 µg 与轨道上的勒贝格测度取乘积而得到的流不变测度 ¯µg 是伯努利的且与流自适应。
• 势函数 g = −htop(ϕ1)τ 对应于 T 的平衡态，这些平衡态与流 ϕt 的最大熵测度之间存在双射关系。
• 对于典型类别的打点桌面，存在一个满足充分条件的势函数开集，从而保证此类平衡态的存在。