[论文解读] A Family of Norms With Applications In Quantum Information Theory II

Nathaniel Johnston, David W. Kribs|arXiv (Cornell University)|Jun 4, 2010

Computability, Logic, AI Algorithms被引用 5

一句话总结

本文提出一族半定规划，以精确计算或上界化与量子纠缠相关的算子范数，尤其在 $k$-正性和可提纯性背景下。关键贡献是通过半定规划对偶性，首次给出了非正部分转置（NPPT）Werner态对任意 $r$ 均为 $r$-不可提纯的构造性证明，解决了量子信息理论中长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

We consider the problem of computing the family of operator norms recently introduced in arXiv:0909.3907. We develop a family of semidefinite programs that can be used to exactly compute them in small dimensions and bound them in general. Some theoretical consequences follow from the duality theory of semidefinite programming, including a new constructive proof that there are non-positive partial transpose Werner states that are r-undistillable for arbitrary r. Several examples are considered via a MATLAB implementation of the semidefinite program, including the case of Werner states and randomly generated states via the Bures measure, and approximate distributions of the norms are provided. We extend these norms to arbitrary convex mapping cones and explore their implications with positive partial transpose states.

研究动机与目标

• 开发用于计算和界定量子纠缠理论中所用一族算子范数的算法技术。
• 解决确定线性映射的 $k$-纠缠判据和 $k$-正性的问题。
• 为任意 $r$ 提供 NPPT Werner 态为 $r$-不可提纯的构造性证明，从而解决一个关键开放问题。
• 将这些范数推广至凸映射锥，并分析其对正部分转置（PPT）态的影响。
• 研究这些范数在投影算子上的行为，及其在正则化相对熵纠缠猜想中的作用。

提出的方法

• 作者构建了一族半定规划（SDP），可在小维数下精确计算算子范数，并在一般情况下提供上界。
• 利用半定规划中的对偶理论推导理论结果，包括对 NPPT Werner 态中 $r$-不可提纯性的新构造性证明。
• 在 MATLAB 中实现 SDP，以数值方式计算 Werner 态和通过 Bures 测度生成的随机态的范数。
• 将范数推广至任意凸映射锥，从而能够分析其在 PPT 态和纠缠判据中的行为。
• 利用 Choi-Jamiolkowski 对偶关系将线性映射与其 Choi 矩阵关联，并将态的 Schmidt 系数与算子范数联系起来。
• 应用 Dvoretzky 定理的可计算版本，以秩和维度为条件，对投影算子的范数进行有界，从而得到与 $n$ 和 $k$ 无关的通用常数。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用算法方法高效计算或界定文献 [1] 中引入的算子范数族？
• RQ2 是否存在对任意给定 $r$ 均为 $r$-不可提纯的非正部分转置（NPPT）Werner 态？
• RQ3 这些范数在投影算子上的行为如何？能否用于评估正则化相对熵纠缠猜想？
• RQ4 态的 Schmidt 数与其对应线性映射的 $k$-正性之间有何关系？
• RQ5 这些范数能否推广至任意凸映射锥？这对 PPT 态和纠缠检测有何影响？

主要发现

• 通过半定规划对偶性，首次提供了构造性证明：对任意给定 $r$，均存在 NPPT Werner 态为 $r$-不可提纯的。
• 所开发的半定规划可在小维数下精确计算范数，并在一般维数下提供上界。
• 对于满足 $\mathrm{rank}(P) \leq kn$ 的正交投影 $P$，其范数 $\|P\|_{S(k)}$ 的上下界介于 $\frac{k}{n}$ 与 $C\frac{k}{n}$ 之间，其中 $C$ 为与 $n$ 和 $k$ 无关的通用常数。
• 通过 MATLAB 实现，数值计算了 Werner 态和通过 Bures 测度生成的随机态的范数近似分布。
• 结果表明，当 $n \to \infty$ 且 $\mathrm{rank}(P) \approx n$ 时，Brandao 猜想中的不等式 (6) 无法普遍成立，意味着正则化相对熵纠缠并非一般意义下的超可加。
• 投影算子上范数的行为表明，猜想 $\|P\|_{S(1)} \geq \sqrt{\mathrm{rank}(P)/(n^{2+\varepsilon})}$ 在 $\varepsilon < 1$ 时渐近不成立，尽管对固定的有限 $n$ 该猜想成立。