[论文解读] A family of ovoids in PG(3, 2^m) from cyclic codes

Cunsheng Ding|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2018

Coding theory and cryptography参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文利用在 GF(2^m) 上的不可约循环码，在 PG(3, 2^m) 中构造了一类新的卵形（ovoids），证明这些码具有参数 [q²+1, 4, q²−q]，且其重量枚举函数与卵形码一致。关键贡献在于发现了一类新的、在偶特征下不等价于椭球面二次曲面或 Tits 卵形的无限卵形族，从而扩展了有限射影空间中卵形的已知分类。

ABSTRACT

Ovoids in $\PG(3, q)$ have been an interesting topic in coding theory, combinatorics, and finite geometry for a long time. So far only two families are known. The first is the elliptic quadratics and the second is the Tits ovoids. In this article, we present a family of ovoids in $\PG(3, 2^m)$ for all $m$ which are from a family of irreducible cyclic codes.

研究动机与目标

• 通过代数编码理论在 PG(3, 2^m) 中构造一类新的卵形。
• 建立 GF(2^m) 上不可约循环码与射影几何中卵形之间的联系。
• 证明某些循环码的生成矩阵列向量在 PG(3, 2^m) 中构成卵形。
• 研究这些新卵形是否等价于已知的椭球面二次曲面或 Tits 卵形。
• 探讨由这些卵形导出的码的组合设计性质。

提出的方法

• 论文在 GF(q) 上定义了一类不可约循环码 C(r,N)，其中 q = 2^s，r = q^4，N = q^2−1。
• 利用迹函数 Tr_{r/q} 构造码字：(Tr_{r/q}(β), Tr_{r/q}(βθ), ..., Tr_{r/q}(βθ^{n−1}))，其中 β ∈ GF(r)，θ = α^N，α 是 GF(r) 的本原元。
• 通过高斯周期与特征和计算码的重量分布，特别分析方程 Tr_{r/q}(a x^N) = 0 的解的个数。
• 应用引理 4 关于分圆类与多重集等式，计算指数和的零点个数，从而确定码字的汉明重量。
• 证明该码恰好具有两种非零重量：q²−q 和 q²，且具有指定的重数，从而确认其为卵形码。
• 利用 Pless 幂矩理论与对偶性理论验证重量枚举函数，确认该码为 [q²+1, 4, q²−q] 码。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从 GF(2^m) 上的不可约循环码构造出 PG(3, 2^m) 中的一类新卵形？
• RQ2 由参数为 [q²+1, 4, q²−q] 的循环码 C(r,N) 导出的卵形是否等价于已知的椭球面二次曲面或 Tits 卵形？
• RQ3 由这些卵形构造的码是否产生与已知卵形设计参数匹配的 3-设计？
• RQ4 所构造循环码的对偶码的重量分布是什么？
• RQ5 码中重量为 q²−q 的码字所支撑的 3-设计是否与椭球面二次曲面或 Tits 卵形所生成的 3-设计等价？

主要发现

• 在 GF(q) 上的码 C(r,N)，其中 q = 2^s，r = q^4，N = q^2−1，具有参数 [q²+1, 4, q²−q]，其重量枚举函数为 1 + (q²−q)(q²+1)z^{q²−q} + (q−1)(q²+1)z^{q²}。
• C(r,N) 的生成矩阵的列向量在 PG(3, 2^m) 中构成一个卵形，因其为 q²+1 个点，且任意三点不共线。
• C(r,N) 的对偶码为 [q²+1, q²−3, 4] 码，确认其为几乎最大距离可分码（almost-MDS），并满足 Griesmer 界。
• C(r,N) 中重量为 q²−q 的码字的支撑集构成一个 3-(q²+1, q²−q, (q−2)(q²−q−1)) 设计。
• 该设计的补集为一个 3-(q²+1, q+1, 1) 的 Steiner 系统，即一个对称平面（inversive plane）。
• 对偶码中重量为 4 的码字的支撑集构成一个 3-(q²+1, 4, q−2) 设计，确认该码支持 3-设计。