[论文解读] A Family of Reversible BCH Codes

Shuxing Li, Cunsheng Ding+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2016

Coding theory and cryptography参考文献 18被引用 16

一句话总结

本文研究了一类可逆Bose-Chaudhuri-Hocquenghem（BCH）码，具体为可逆BCH码的偶数权重子码，记为$\overline{{\mathcal{C}}}_{(q,m,\delta)}$。对于较小的$\delta$，推导出其精确维度和最小距离；对于较大的$\delta$，建立边界。证明了当$\delta = q^\lambda - 1$且$1 \leq \lambda \leq \lfloor m/2 \rfloor$时，最小距离恰好为$2\delta$，验证了二元和三元情况下的一个猜想。在许多情况下，这些码实现了最优或近似最优的参数。

ABSTRACT

Cyclic codes are an interesting class of linear codes due to their efficient encoding and decoding algorithms as well as their theoretical importance. BCH codes form a subclass of cyclic codes and are very important in both theory and practice as they have good error-correcting capability and are widely used in communication systems, storage devices and consumer electronics. However, the dimension and minimum distance of BCH codes are not known in general. The objective of this paper is to study the dimension and minimum distance of a family of BCH codes over finite fields, i.e., a class of reversible BCH codes.

研究动机与目标

• 确定一类可逆BCH码的维度和最小距离，具体为偶数权重子码$\overline{{\mathcal{C}}}_{(q,m,\delta)}$。
• 在$q$和$m$满足不同条件时，研究$\overline{{\mathcal{C}}}_{(q,m,\delta)}$在小$\delta$值（包括$\delta = 2, 3, 4$）下的参数。
• 为$\delta = q^\lambda$且$\frac{m}{2} \leq \lambda \leq m-1$的情况建立维度和最小距离的边界，将结果扩展至小$\delta$之外。
• 通过与已知最优循环码比较，探讨这些码的最优性，特别是在二元和三元情况下的表现。

提出的方法

• 本文利用$q$-循环陪集及其陪集代表元，分析生成多项式$\overline{g}_{(q,m,\delta)}(x) = (x-1)\tilde{g}_{(q,m,\delta)}(x)$的结构，其中$\tilde{g}_{(q,m,\delta)}(x)$是索引$1$到$\delta-1$以及$n-\delta+1$到$n-1$的最小多项式的LCM。
• 应用BCH界推导最小距离的下界，特别是针对$\overline{{\mathcal{C}}}_{(q,m,\delta)}$，并利用球体打包界对估计值进行优化。
• 通过生成多项式的次数计算维度，利用关于LCM中不同最小多项式数量的已知结果，特别是定理4和推论9。
• 对于特定情况（如$\delta = 2$、$\delta = 3$和$\delta = 4$），利用代数数论和有限域的性质推导出精确参数。
• 通过数值实验和实例支持猜想，例如当$\delta = q^\lambda - 1$时$d = 2\delta$，并通过显式构造验证。
• 将$\overline{{\mathcal{C}}}_{(q,m,\delta)}$的参数与已知最优循环码表进行比较，以评估其最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于小$\delta$（如$\delta = 2, 3, 4$），偶数权重子码$\overline{{\mathcal{C}}}_{(q,m,\delta)}$的精确维度是什么？
• RQ2 当$\delta = q^\lambda - 1$且$1 \leq \lambda \leq \lfloor m/2 \rfloor$时，$\overline{{\mathcal{C}}}_{(q,m,\delta)}$的最小距离是多少？
• RQ3 在什么条件下$\overline{{\mathcal{C}}}_{(q,m,\delta)}$的最小距离恰好为$2\delta$，何时严格大于$\delta$？
• RQ4 $\overline{{\mathcal{C}}}_{(q,m,\delta)}$的参数与已知最优循环码相比如何，特别是在二元和三元情况下？
• RQ5 当$m$为奇数时，$\overline{{\mathcal{C}}}_{(3,m,4)}$的最小距离是否恰好为8？该猜想是否成立？

主要发现

• 当$q$为奇数且$m \geq 2$时，码$\overline{{\mathcal{C}}}_{(q,m,2)}$的参数为$[q^m - 1, q^m - 2 - 2m, 4]$，最小距离恰好为4。
• 当$q = 2$且$m \geq 4$时，$\overline{{\mathcal{C}}}_{(2,m,3)}$的参数为$[2^m - 1, 2^m - 2 - 2m, 6]$，达到最小距离6。
• 当$q^m \equiv 1 \pmod{3}$且$m \geq 4$时，$\overline{{\mathcal{C}}}_{(q,m,3)}$的参数为$[q^m - 1, q^m - 2 - 4m, 6]$，最小距离为6。
• 当$q = 3$且$m \geq 3$时，$\overline{{\mathcal{C}}}_{(3,m,4)}$的维度为$3^m - 2 - 4m$，当$m$为偶数时最小距离恰好为8，当$m$为奇数时最小距离至少为8。
• 当$\delta = q^\lambda - 1$且$1 \leq \lambda \leq \lfloor m/2 \rfloor$时，$\overline{{\mathcal{C}}}_{(q,m,\delta)}$的最小距离为$2\delta$的猜想得到了数值证据支持，并在二元和三元情况下已得证明。
• 二元可逆BCH码$\overline{{\mathcal{C}}}_{(2,m,\delta)}$在大多数测试情况下为最优或接近最优的已知循环码，包括$m = 4,5,6$且$\delta = 3,5,7,9,11,13$的情况。