[论文解读] A family of simple weight modules over the Virasoro algebra

Rencai Lü, Kaiming Zhao|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用 16

一句话总结

本文通过从导子代数 $χ[t]\frac{d}{dt}$ 的单模诱导，构造了维拉索罗代数上的一类新的简单权模，推广了早期的构造。文章给出了模为单模及两个模同构的充要条件，并证明了这些模是全新的，且与最高权模和中间系列模的张量积的任意子模均不同构。

ABSTRACT

Using simple modules over the derivation Lie algebra $C[t]\frac{d}{d t}$ of the associative polynomial algebra $C[t]$, we construct new weight Virasoro modules with all weight spaces infinite dimensional. We determine necessary and sufficient conditions for these new weight Virasoro modules to be simple, and determine necessary and sufficient conditions for two such weight Virasoro modules to be isomorphic. If such a weight Virasoro module is not simple, we obtain all its submodules. In particular, we completely determine the simplicity and the isomorphism classes of the weight modules defined in [C. Conley, C. Martin; A family of irreducible representations of the Witt Lie algebra with infinite-dimensional weight spaces. Compos. Math., 128(2), 153-175(2001)] which are a small portion of the modules constructed in this paper.

研究动机与目标

• 构造维拉索罗代数上的一类新的简单权模，其所有权空间均为无限维。
• 将此前的构造（包括 [CM] 和 [LLZ] 中的构造）作为特例进行推广与统一。
• 确定此类模为单模的充要条件，以及两个此类模同构的充要条件。
• 证明所构造的模与任何最高权模和中间系列模张量积的简单子模均不同构。
• 当模非单模时，对所有子模进行分类，提供完整的结构描述。

提出的方法

• 构造维拉索罗模 $\mathcal{L}(W,\lambda,a,b) = W \otimes \mathbb{C}[t,t^{-1}]$，其中 $W$ 是 $\mathcal{O}_{\mathfrak{W}}$ 类中的单模，即满足有限性条件的 $\mathfrak{W}$-模。
• 利用维特定代数 $\mathfrak{W} = \operatorname{Der}(\mathbb{C}[t])$ 及其子代数 $\mathfrak{b} = \operatorname{span}\{d_i \mid i \geq 0\}$ 和 $\mathfrak{V}^{(r)}$ 的结构，通过诱导定义模。
• 应用一种强有力的工具：在权空间之间定义同态映射 $\varphi_n$，以分析模的结构与同构类型。
• 利用算子 $X_{l,m} = d_{l-m-3}d_{m+3} - 3d_{l-m-2}d_{m+2} + 3d_{l-m-1}d_{m+1} - d_{l-m}d_m$ 区分新模与已知模。
• 分析 $X_{l,m}$ 在权向量上的作用，证明当 $\lambda \neq 1$ 时其作用非零，从而证明与张量积模不同构。
• 利用 $\mathfrak{b}$-模中向量的支集（socle）与阶数，对 $\mathcal{O}_{\mathfrak{b}}$ 和 $\mathcal{O}_{\mathfrak{W}}$ 中的单模进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 所构造的权模 $\mathcal{L}(W,\lambda,a,b)$ 为单模的充要条件是什么？
• RQ2 何时两个此类模 $\mathcal{L}(W,\lambda,a,b)$ 与 $\mathcal{L}(W',\lambda',a',b')$ 同构？
• RQ3 当 $\mathcal{L}(W,\lambda,a,b)$ 非单模时，其子模的结构如何？能否完全分类？
• RQ4 所构造的模是否为新模，即是否与任何最高权模与中间系列模张量积的简单子模均不同构？
• RQ5 文献 [CM] 与 [LLZ] 中的模与一般族 $\mathcal{L}(W,\lambda,a,b)$ 有何关系？

主要发现

• 模 $\mathcal{L}(W,\lambda,a,b)$ 为单模当且仅当 $\lambda \neq 1$，且 $a$、$b$ 与 $W$ 的 $\mathfrak{b}$-模结构满足特定条件。
• 两个此类单模 $\mathcal{L}(W,\lambda,a,b)$ 与 $\mathcal{L}(W',\lambda',a',b')$ 同构当且仅当 $\lambda = \lambda'$，$a = a'$，$b = b'$，且 $W \cong W'$ 作为 $\mathfrak{W}$-模。
• 当 $\lambda = 1$ 时，模 $\mathcal{L}(W,1,a,b)$ 非单模，且其所有子模均可通过 $W$ 的结构与 $\mathfrak{b}$ 的作用完全确定。
• 当 $W$ 为特定的最高权 $\mathfrak{W}$-模时，模 $\mathcal{L}(W,\lambda,a,b)$ 包含了 [CM] 中的所有模作为特例。
• 所构造的模与任何 $V(\dot{c},h) \otimes A'_{a_1,b_1}$ 的简单子模均不同构，这是通过 $X_{l,m}$ 在其权向量上的非零作用所证明。
• 当 $\lambda \neq 1$ 时，算子 $X_{l,m}$ 在 $\mathcal{L}(W,\lambda,a,b)$ 的权向量上作用非平凡，而在张量积模的向量上则恒为零，从而证明了不同构性。