[论文解读] A family of Solutions of the N-Body Problem

Óscar Perdomo|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2014

Spacecraft Dynamics and Control被引用 6

一句话总结

本文提出了一类显式、周期性的n体问题解，其中质量为$m_1$的中心天体沿固定直线运动，而$n-1$个质量相等的天体（$m_2$）对称地围绕其运行。通过将系统约化为关于径向距离的二阶常微分方程，作者证明了负总能量与非零角动量可保证运动有界且不发生碰撞，并通过积分法构造了显式解，展示了当$n=3$至$6$时存在无穷多条周期轨道。该结果可推广至具对称质量构型的一般$n$体系统。

ABSTRACT

In this paper we characterize all the solutions of the three body problem on which one body with mass $m_1$ remains in a fixed line and the other two bodies have the same mass $m_2$. We show that all the solutions with negative total energy (potential plus kinetic), never collide. "Explicit" solutions of the motion of all the three bodies are given in term of just one solution of an ordinary differential equation of order two of one real value function. We show that the solutions of a big subfamily of this family remains bounded for all time. The same results are shown for the n-body problem. When the body on the line remains constant, we have provide exact formulas for the solutions --for any n-- in the same way as we have for the two body problem. Once we have shown that there are infinitely many periodic solutions, we provide several examples of periodic examples for the 3-Body, 4-Body, 5-Body and 6-Body problem. This is a first version. Comments and suggestions for references are welcome. A YouTube video explaining one of this solutions has been posted on http://youtu.be/2Wpv6vpOxXk

研究动机与目标

• 表征所有满足一个质量$m_1$沿固定直线运动、另两个质量相等为$m_2$的三体问题解。
• 证明所有总能量为负且角动量非零的解均为非碰撞且有界的。
• 通过单个二阶常微分方程的解，显式构造所有三个天体运动的解。
• 将结果推广至具一个中心质量与$n-1$个等质量天体的一般$n$体问题。
• 为三体、四体、五体与六体问题提供高数值精度的周期解显式示例。

提出的方法

• 使用牛顿引力定律建模系统，取引力常数为1，假设中心质量$m_1$沿$z$轴运动：$x(t) = (0,0,f(t))$。
• 施加质心守恒条件：$m_1 x(t) + m_2 y(t) + m_2 z(t) = (0,0,0)$，由此导出对称投影$Y = (y_1,y_2)$，$Z = (-y_1,-y_2)$，且$z_3 = y_3 = -\frac{m_1}{2m_2}f(t)$。
• 定义守恒量：角动量$c_1 = y_1 \dot{y}_2 - y_2 \dot{y}_1$与总能量$c_2$，二者决定系统的动力学行为。
• 通过将$f(t) = g(r(t))$代入并导出方程$a(r,g,g')g'' + b(r,g)g' + c(g,r) = 0$，将系统约化为关于$r(t)$（环绕天体的径向距离）的二阶常微分方程。
• 利用能量与角动量约束，通过变量分离法求解$r(t)$，再由$r^2 \dot{\theta} = c_1$恢复$\theta(t)$，从而完整重构$x(t), y(t), z(t)$。
• 通过验证初始条件满足$\xi(q_0) < 10^{-11}$来确认周期性，表明数值上与周期轨道高度一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有一个中心质量与两个等质量环绕体的三体系统中，何种条件下系统可保证长期非碰撞且有界？
• RQ2 能否从单个二阶常微分方程的解中，显式导出所有三个天体完整运动的解析解？
• RQ3 在对称$n$体问题中，能量$c_2$与角动量$c_1$需满足何种约束，才能保证解有界且周期？
• RQ4 如何将具一个中心质量与$n-1$个等质量天体的$n$体问题约化为可解的常微分方程组？
• RQ5 何种数值标准可保证解为周期性？此类解又如何以高精度构造？

主要发现

• 所有总能量为负（$c_2 < 0$）且角动量非零（$c_1 \neq 0$）的解均为非碰撞解，且满足$0 < a_1 < r(t) < b_1$，其中$a_1, b_1$为依赖于$c_1, c_2, m_1, m_2$的显式常数。
• 若满足$8m_1m_2^2 + m_2^3 + 16c_2c_1^2 > 0$，则解的一个子集有界，确保长期稳定性。
• 由于有界解集在参数空间中为开集且对初值连续依赖，因此存在无穷多条周期解。
• 通过积分法显式构造了$x(t), y(t), z(t)$的解：一旦$g(r)$满足常微分方程，$r(t)$即可通过积分求得，再由$r^2 \dot{\theta} = c_1$求得$\theta(t)$，从而完整重构轨迹。
• 对于$n=3$至$6$，构造了12组显式周期解，且满足$\xi(q_0) < 10^{-11}$，表明初始条件与周期轨道在5至7位有效数字内高度一致。
• 结果可推广至具一个中心质量$m_1$与$n-1$个等质量$m_2$的$n$体问题，其中$g(r)$所满足的常微分方程的导出参数为$k = \frac{m_1 + n m_2}{n m_2}$。