[论文解读] A fast algorithm for regularized focused 3-D inversion of gravity data using the randomized SVD

Saeed Vatankhah, Rosemary A. Renaut+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 19, 2017

Geophysical and Geoelectrical Methods参考文献 22被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于随机SVD（RSVD）的快速、正则化的三维重力反演算法，可高效求解大规模欠定线性系统。通过使用少量随机投影对系统矩阵进行低秩SVD近似，该方法在保持精度的同时显著加速计算，实现的解与LSQR方法相当，但计算时间和内存消耗大幅降低，已在巴西莫鲁杜恩根霍复杂体的合成数据和实测数据上得到验证。

ABSTRACT

A fast algorithm for solving the under-determined 3-D linear gravity inverse problem based on the randomized singular value decomposition (RSVD) is developed. The algorithm combines an iteratively reweighted approach for $L_1$-norm regularization with the RSVD methodology in which the large scale linear system at each iteration is replaced with a much smaller linear system. Although the optimal choice for the low rank approximation of the system matrix with m rows is q=m, acceptable results are achievable with q<

研究动机与目标

• 开发一种计算高效的三维重力数据反演算法，可扩展至大规模问题。
• 解决在地球物理反演中，大规模欠定系统直接SVD计算不可行的问题。
• 利用随机SVD近似系统矩阵的主要奇异值和奇异向量，以最小秩降低计算成本。
• 在降维空间中有效应用无偏预测风险估计（UPRE）进行正则化，而无需截断小奇异值。
• 在合成模型和巴西莫鲁杜恩根霍复杂体的实际重力数据上验证该方法。

提出的方法

• 该方法采用高斯采样随机SVD（RSVD）计算重力前向建模矩阵G的低秩近似，秩为q ≪ m。
• 在迭代重加权最小二乘法（IRLS）的每次迭代中，通过RSVD将大规模系统投影到更小的子空间，从而减小问题规模。
• 正则化参数α通过直接应用于降维系统的无偏预测风险估计（UPRE）选择，避免截断小奇异值。
• 通过BᵀB的特征分解近似原始系统的主导奇异值和奇异向量，其中B为随机投影矩阵，从而高效计算投影系统SVD。
• 通过IRLS实现L₁-范数正则化，以促进聚焦、稀疏解，强调局部化的地下结构。
• 通过基于当前估计值的模型重加权迭代更新解，每一步均通过低秩SVD更新系统矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 随机SVD能否在q ≪ m条件下对重力前向建模矩阵G实现准确的低秩近似，同时保留正则化所需的主导谱特性？
• RQ2 基于RSVD的反演是否能在显著降低计算成本的同时，达到与LSQR相当的解质量？
• RQ3 是否可直接在降维系统上应用UPRE而不进行截断，从而在不损失精度的前提下确保适当的正则化？
• RQ4 该方法在大规模三维重力反演问题上的表现如何，包括合成数据和莫鲁杜恩根霍复杂体的实际数据？
• RQ5 在RSVD近似中，如何选择最优的q值以在精度与计算效率之间取得平衡？

主要发现

• 基于RSVD的算法在精度上与LSQR相当，但计算时间和内存使用显著减少。
• 对于莫鲁杜恩根霍数据，使用q = 400时，解与观测重力异常匹配良好，并揭示了与已知地质一致的聚焦地下结构。
• 正则化参数α随迭代过程减小，表明数据拟合程度提高并实现收敛，如图10a所示。
• UPRE函数在最终迭代时达到最小值，证实了在降维空间中有效正则化及最优参数选择。
• 该方法在具有不同复杂度的合成模型上表现稳健，包括深埋和孤立体，证实其能有效恢复聚焦结构。
• RSVD算法的计算成本为O(lmn)，使其适用于直接SVD不可行的大规模三维问题。