[论文解读] A Fast Algorithm for Solving Scalar Wave Scattering Problem by Billions of Particles

А. Г. Рамм, Nhan Tran|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2016

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 23被引用 11

一句话总结

本文提出了一种快速、可扩展的算法，通过新颖结合（ORI）线性系统、共轭正交共轭梯度（COCG）方法和快速傅里叶变换（FFT），实现了对多达十亿个小型阻抗粒子的标量波散射问题的求解。该方法首次实现了对含有10^10个粒子的波散射问题的数值求解，展示了通过粒子分布与阻抗调控设计具有所需折射系数（包括负折射）材料的可行性。

ABSTRACT

Scalar wave scattering by many small particles of arbitrary shapes with impedance boundary condition is studied. The problem is solved asymptotically and numerically under the assumptions a << d << lambda, where k = 2pi/lambda is the wave number, lambda is the wave length, a is the characteristic size of the particles, and d is the smallest distance between neighboring particles. A fast algorithm for solving this wave scattering problem by billions of particles is presented. The algorithm comprises the derivation of the (ORI) linear system and makes use of Conjugate Orthogonal Conjugate Gradient method and Fast Fourier Transform. Numerical solutions of the scalar wave scattering problem with 1, 4, 7, and 10 billions of small impedance particles are achieved for the first time. In these numerical examples, the problem of creating a material with negative refraction coefficient is also described and a recipe for creating materials with a desired refraction coefficient is tested.

研究动机与目标

• 开发一种计算高效的标量波散射问题求解方法，适用于数十亿个小型阻抗粒子。
• 克服现有方法在求解大规模波散射问题时计算不可行的局限。
• 通过分布具有定制边界阻抗的小型粒子，实现对具有所需有效折射系数（包括负值）的复合材料的数值设计。
• 通过高性能并行计算，首次实现对10^10个粒子的波散射问题的数值求解。

提出的方法

• 该算法基于在 $a \ll d \ll \lambda$ 条件下，对具有任意形状的大量小型阻抗粒子的波散射渐近理论，其中 $a$ 为粒子尺寸，$d$ 为粒子间距，$\lambda$ 为波长。
• 采用（ORI）公式将散射问题表述为线性系统，以捕捉粒子之间的有效场相互作用。
• 利用共轭正交共轭梯度（COCG）迭代方法求解该系统，该方法能高效处理大规模稀疏线性系统。
• 通过快速傅里叶变换（FFT）加速COCG迭代中的矩阵-向量乘积，从而降低计算复杂度。
• 该方法在Gordon超算机上通过XSEDE实现并行化，支持高达10^10个粒子的模拟。
• 通过10亿、40亿、70亿和100亿粒子的数值算例验证了算法的收敛性与可扩展性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使用可扩展、快速的算法对十亿个小型阻抗粒子的波散射问题进行数值求解？
• RQ2 如何通过分布具有特定边界阻抗的粒子来控制复合材料的有效折射系数？
• RQ3 需要哪些计算技术才能高效处理大规模粒子散射问题所产生的线性系统？
• RQ4 所提出的算法在粒子数量超过一百万个时，其可扩展性达到何种程度？
• RQ5 该算法能否用于设计具有负有效折射系数的材料？

主要发现

• 首次实现了对10^10个小型阻抗粒子的标量波散射问题的数值求解，标志着计算波物理领域的一个重要里程碑。
• 该算法在Gordon超算机上通过并行计算成功求解了10亿、40亿、70亿和100亿粒子的问题。
• 小型阻抗粒子所散射的有效场按 $O(a^{2-\kappa})$ 规律缩放，其中 $\kappa \in [0,1)$，显著大于瑞利散射的 $O(a^3)$，从而实现更强的相互作用效应。
• 通过调节粒子的边界阻抗 $\zeta = h a^{-\kappa}$，该方法可实现对材料有效折射系数（包括负值）的定制化设计。
• 通过引入FFT与COCG方法，将计算成本降低至使百亿粒子模拟成为可行，总运算量相比直接方法大幅减少。
• 数值结果验证了理论预测：通过控制粒子分布与阻抗，可实现具有任意折射系数的材料工程。