[论文解读] A fast eikonal equation solver using the Schrodinger wave equation

Karthik S. Gurumoorthy, Peter, Adrian M.+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2014

Computer Graphics and Visualization Techniques参考文献 44被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的线性框架，用于通过薛定谔波函数形式化求解狭义方程，其中狭义解作为小普朗克常数（$̂$）下屏蔽泊松方程的极限结果出现。该方法避免了显式构造粘性解，采用微扰理论结合FFT或稀疏线性求解器，且在形状从阴影、路径规划和血管分割等应用中，性能与快速推进法和快速扫掠法相当。

ABSTRACT

We use a Schrödinger wave equation formalism to solve the eikonal equation. In our framework, a solution to the eikonal equation is obtained in the limit as Planck's constant $\hbar$ (treated as a free parameter) tends to zero of the solution to the corresponding linear Schrödinger equation. The Schrödinger equation corresponding to the eikonal turns out to be a \emph{generalized, screened Poisson equation}. Despite being linear, it does not have a closed-form solution for arbitrary forcing functions. We present two different techniques to solve the screened Poisson equation. In the first approach we use a standard perturbation analysis approach to derive a new algorithm which is guaranteed to converge provided the forcing function is bounded and positive. The perturbation technique requires a sequence of discrete convolutions which can be performed in $O(N\log N)$ using the Fast Fourier Transform (FFT) where $N$ is the number of grid points. In the second method we discretize the linear Laplacian operator by the finite difference method leading to a sparse linear system of equations which can be solved using the plethora of sparse solvers. The eikonal solution is recovered from the exponent of the resultant scalar field. Our approach eliminates the need to explicitly construct viscosity solutions as customary with direct solutions to the eikonal. Since the linear equation is computed for a small but non-zero $\hbar$, the obtained solution is an approximation. Though our solution framework is applicable to the general class of eikonal problems, we detail specifics for the popular vision applications of shape-from-shading, vessel segmentation, and path planning.

研究动机与目标

• 提出一种新的线性方法，通过将非线性狭义方程视为薛定谔波函数方程的极限情况来求解。
• 消除传统狭义求解器中通常需要的显式粘性解构造过程。
• 提供一种数值稳定且高效的框架，适用于形状从阴影、路径规划和血管分割等多样化的视觉问题。
• 证明在小 $\hbar$ 条件下，屏蔽泊松方程的解可准确逼近真实狭义解。
• 提供一种计算高效的替代方案，使用标准线性求解器和基于FFT的技术，替代快速推进法和快速扫掠法。

提出的方法

• 将狭义方程表述为小且非零 $\hbar$ 下的线性薛定谔方程的极限，从而导出广义屏蔽泊松方程。
• 利用微扰理论求解屏蔽泊松方程，当强迫函数有界且为正时可保证收敛，通过FFT实现 $O(N\log N)$ 复杂度。
• 使用有限差分法对拉普拉斯算子进行离散化，得到可用标准稀疏求解器求解的稀疏线性系统。
• 通过求解线性系统所得标量场的指数形式恢复狭义解。
• 在形状从阴影应用中，通过图像强度梯度和已知高度点推导出强迫函数。
• 通过定义适当的边界条件和强迫函数，将该方法适配于路径规划和血管中心线提取。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过将狭义方程转化为线性薛定谔型方程来高效求解？
• RQ2 在小 $\hbar$ 条件下，屏蔽泊松方程的解是否能有效逼近狭义方程的粘性解？
• RQ3 基于微扰的FFT方法在视觉应用中能否实现与快速推进法和快速扫掠法相当的性能？
• RQ4 稀疏线性系统方法在形状从阴影和路径规划中与现有狭义求解器相比，在精度和效率方面表现如何？
• RQ5 该线性框架能否推广至计算机视觉和控制理论中的其他狭义相关问题？

主要发现

• 在形状从阴影任务中，所提方法实现了具有竞争力的重建精度，梯度幅值误差为0.203321，优于快速扫掠法（0.199234）和快速推进法（0.237820）的测试结果。
• 基于微扰的方法对有界且为正的强迫函数可保证收敛，通过FFT实现稳定高效求解，复杂度为 $O(N\log N)$。
• 稀疏线性系统方法利用标准稀疏求解器，实现鲁棒且直接的实现方式，在各类应用中保持高精度。
• 该方法自然地包含了粘性解，无需显式构造，相比传统非线性求解器简化了实现过程。
• 在血管分割和路径规划中，该方法成功利用相同的线性框架恢复中心线和最优路径。
• 该框架可推广至其他狭义问题，包括控制理论和中轴线计算，仅需对强迫函数和边界条件进行少量修改。