[论文解读] A fast method for pricing American options under the variance gamma model

Weilong Fu, Ali Hirsa|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用 3

一句话总结

该论文提出了一种快速且精确的方差伽马（VG）模型下美式期权定价方法，通过结合二次逼近与核回归以校正逼近误差。该方法利用机器学习预先计算校正项，实现与解析逼近相当的速度，同时保持高精度，在速度和误差指标上均优于有限差分法（FDM）与蒙特卡洛方法。

ABSTRACT

We investigate methods for pricing American options under the variance gamma model. The variance gamma process is a pure jump process which is constructed by replacing the calendar time by the gamma time in a Brownian motion with drift, which makes it a time-changed Brownian motion. In general, the finite difference method and the simulation method can be used for pricing under this model, but their speed is not satisfactory. So there is a need for fast but accurate approximation methods. In the case of Black-Merton-Scholes model, there are fast approximation methods, but they cannot be utilized for the variance gamma model. We develop a new fast method inspired by the quadratic approximation method, while reducing the error by making use of a machine learning technique on pre-calculated quantities. We compare the performance of our proposed method with those of the existing methods and show that this method is efficient and accurate for practical use.

研究动机与目标

• 解决在纯跳跃Lévy过程（如方差伽马，VG）模型下美式期权缺乏快速且精确的近似方法的问题。
• 克服现有方法的局限性——如有限差分法（速度慢）和蒙特卡洛模拟（速度慢且存在噪声）——以实现实际期权定价中的应用。
• 开发一种混合方法，利用二次逼近的速度优势，同时通过基于数据的核回归校正来降低其误差。
• 构建一种实用且可扩展的方法，可推广至其他纯跳跃模型（如CGMY和NIG）。
• 在计算速度与定价精度之间取得平衡，适用于实时风险管理和做市交易。

提出的方法

• 将Ju-Zhong的二次逼近框架适配至VG模型，采用基于简化PIDE的近似方法，避免如有限差分法那样的时间步长计算。
• 在近似期权价格中引入校正项，以减少初始二次简化带来的误差。
• 使用非参数核回归来估计校正项作为模型参数（r, q, T, σ, ν, θ）的函数，训练数据基于预先计算的期权价格。
• 在参数网格的笛卡尔积上训练核回归模型（6维输入，N+1维输出变量），其中N=6表示标的资产价格网格。
• 通过重复交叉验证（5次运行）优化核带宽，并对结果取平均以增强鲁棒性。
• 将最终的定价过程实现为基于查找表与回归的函数，一旦校正模型预先训练完成，即可实现快速评估。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一种在VG模型下美式期权定价的快速近似方法，使其显著快于有限差分法或蒙特卡洛方法，同时保持高精度？
• RQ2 将二次逼近与基于机器学习的校正相结合，在纯跳跃模型中降低定价误差的效果如何？
• RQ3 随着到期时间的延长，特别是超过T=0.5时，所提出方法的性能退化程度如何？
• RQ4 该方法能否在极少修改的情况下推广至其他纯跳跃Lévy模型（如CGMY和NIG）？
• RQ5 是否可行通过有限数量的训练点预先计算校正项，使得最终模型在实时使用中仍保持高精度与高效率？

主要发现

• 所提出方法在速度与精度之间实现了良好平衡，在误差与计算时间方面均优于有限差分法（FDcoarse）与蒙特卡洛方法。
• 该方法显著快于FDfine（高精度参考方法）与MC模拟，其速度与解析近似方法相当。
• 即使在有限差分法被加速（FDcoarse）的情况下，对于T ≤ 0.5，其误差仍略高于所提出方法。
• 当T = 1.0时，方法性能略有下降，原因在于使用指数形式难以准确逼近长期到期时间下的真实美式期权溢价曲面。
• 基于核回归的校正将初始二次逼近的误差降低至或低于买卖价差水平，使其在实际应用中具有可行性。
• 该方法具有鲁棒性与可扩展性，仅预计算阶段成本较高，后续在线定价可实现快速响应。