[论文解读] A fast solver for spectral element approximation applied to fractional differential equations using hierarchical matrix approximation

Xianjuan Li, Zhiping Mao+3 more|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文提出了一种针对双边分数阶扩散方程谱元离散化的快速迭代求解器，采用层级矩阵（H-矩阵）逼近方法。通过H-矩阵压缩近似稠密刚度矩阵，并采用层级LU分解，该方法将求解成本降低至O(R²Nd log²N + R³Nd log N + Nd²)，与未经预条件处理的系统相比，条件数降低了超过11个数量级，同时保持了谱元方法的高阶精度。

ABSTRACT

We develop a fast solver for the spectral element method (SEM) applied to the two-sided fractional diffusion equation on uniform, geometric and graded meshes. By approximating the singular kernel with a degenerate kernel, we construct a hierarchical matrix (H-matrix) to represent the stiffness matrix of the SEM and provide error estimates verified numerically. We can solve efficiently the H-matrix approximation problem using a hierarchical LU decomposition method, which reduces the computational cost to $O(R^2 N_d \log^2N) +O(R^3 N_d \log N)$, where $R$ it is the rank of submatrices of the H-matrix approximation, $N_d$ is the total number of degrees of freedom and $N$ is the number of elements. However, we lose the high accuracy of the SEM. Thus, we solve the corresponding preconditioned system by using the H-matrix approximation problem as a preconditioner, recovering the high order accuracy of the SEM. The condition number of the preconditioned system is independent of the polynomial degree $P$ and grows with the number of elements, but at modest values of the rank $R$ is below order 10 in our experiments, which represents a reduction of more than 11 orders of magnitude from the unpreconditioned system; this reduction is higher in the two-sided fractional derivative compared to one-sided fractional derivative. The corresponding cost is $O(R^2 N_d \log^2 N)+O(R^3 N_d \log N)+O(N_d^2)$. Moreover, by using a structured mesh (uniform or geometric mesh), we can further reduce the computational cost to $O(R^2 N_d\log^2 N) +O(R^3 N_d \log N)+ O(P^2 N\log N)$ for the preconditioned system. We present several numerical tests to illustrate the proposed algorithm using $h$ and $p$ refinements.

研究动机与目标

• 解决谱元离散化双边分数阶扩散方程所产生的稠密线性系统的高计算成本与病态问题。
• 在高效求解所得稠密系统的同时，保持谱元方法的高阶精度。
• 针对均匀、几何及非均匀分布的网格，开发一种基于层级矩阵逼近与预条件化的快速可扩展求解器。
• 实现最优复杂度O(R²Nd log²N + R³Nd log N + Nd²)，且条件数与多项式阶数P无关。

提出的方法

• 通过使用退化核近似分数积分算子中的奇异核，以实现刚度矩阵的层级矩阵（H-矩阵）表示。
• 通过层级LU分解构建H-矩阵，利用非对角块的低秩结构以降低存储与计算成本。
• 将H-矩阵逼近用作原始谱元系统的预条件子，以在降低条件数的同时恢复高阶精度。
• 利用结构化网格（均匀或几何分布）进一步将预条件系统求解成本降低至O(P²N log N)。
• 通过涉及托普利茨型结构与缩放积分的块矩阵分解，高效计算H-矩阵块。
• 采用Petrov-Galerkin框架，并以雅可比多项式分数阶多项式作为基函数，以确保在非均匀分布网格上的高阶收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 层级矩阵逼近能否有效应用于谱元离散化双边分数阶PDE所产生的稠密刚度矩阵？
• RQ2 在此背景下，H-矩阵预条件化可实现的计算复杂度与条件数降低程度如何？
• RQ3 该方法如何在实现快速求解的同时保持谱元方法的高阶精度？
• RQ4 在H-矩阵预条件系统中，结构化网格在多大程度上可进一步降低计算成本？
• RQ5 条件数对多项式阶数P与单元数N的依赖关系如何？

主要发现

• H-矩阵逼近将求解成本降低至O(R²Nd log²N + R³Nd log N + Nd²)，其中主要计算量来自预条件系统求解。
• 预条件系统条件数与多项式阶数P无关，且随单元数增加而缓慢增长，在数值实验中，对于适度秩R，条件数始终低于10的量级。
• 与未经预条件处理的系统相比，该预条件化使条件数降低了超过11个数量级，且在双边分数阶导数中观察到比单边导数更大的降低效果。
• 对于结构化网格（均匀或几何分布），预条件系统求解成本进一步降低至O(P²N log N)，从而实现高效的p-型超收敛。
• 数值实验验证了该方法的高精度，使用H-矩阵预条件子时，谱元方法的谱收敛率得以保持。
• 即使在端点奇异性问题中，该方法仍保持高精度，对于光滑右端项，其L∞-误差优于线性FEM与PGS方法。