[论文解读] A faster calculation of Franck-Condon factors and Fock matrix elements of Gaussian unitaries using loop hafnians

Nicolás Quesada|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2018

Quantum and electron transport phenomena被引用 1

一句话总结

该论文提出了一种新方法，通过将Franck-Condon因子（FCFs）和玻色子高斯幺正矩阵元的计算重新表述为具有P = N + M个顶点的加权图上的环状赫夫米安（loop hafnian）计算，从而加速其计算。该方法将计算复杂度降低至O(P³2^{P/2})，在每种模态中振动量子数较少的系统中实现了显著加速，从而通过统一的数学框架将量子化学、量子光学与图论联系起来。

ABSTRACT

We show that the Franck-Condon Factor (FCF) associated to a transition between initial and final vibrational states in two different potential energy surfaces, having $N$ and $M$ vibrational quanta, respectively, is equivalent to calculating the number of perfect matchings of a weighted graph with loops that has $P = N+M$ vertices. This last quantity is the loop hafnian of the (symmetric) adjacency matrix of the graph which can be calculated in $O(P^3 2^{P/2})$ steps. In the limit of small numbers of vibrational quanta per normal mode our loop hafnian formula significantly improves the speed at which FCFs can be calculated. Our results more generally apply to the calculation of the matrix elements of a bosonic Gaussian unitary between two multimode Fock states having $N$ and $M$ photons in total and provide a useful link between certain calculations of quantum chemistry, quantum optics and graph theory.

研究动机与目标

• 开发一种更快的计算方法，用于涉及N和M个振动量子的分子跃迁中的Franck-Condon因子（FCFs）
• 将该方法推广至计算多模 Fock 态之间玻色子高斯幺正算符的矩阵元，总光子数分别为N和M
• 建立量子化学/量子光学计算与图论概念（如环状赫夫米安）之间的正式联系
• 将 FCF 计算的计算成本从指数级降低至O(P³2^{P/2})，适用于振动量子数较少的系统

提出的方法

• 将两个振动态之间跃迁的 FCF 映射为具有P = N + M个顶点的带环加权图中的完美匹配数
• 通过图的对称邻接矩阵的环状赫夫米安计算完美匹配数
• 使用时间复杂度为O(P³2^{P/2})的算法评估环状赫夫米安，该算法在小P值时比以往方法更高效
• 该方法普遍适用于Fock态之间玻色子高斯幺正算符的矩阵元计算，总光子数分别为N和M
• 该方法利用高斯态和Fock态的对称性与组合性质，实现高效计算
• 该框架通过共享的数学结构，统一了量子化学、量子光学与图论中的计算

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过图论概念重新表述Franck-Condon因子的计算，以实现更快速的评估？
• RQ2 与传统方法相比，使用环状赫夫米安计算FCF的计算复杂度如何？
• RQ3 所提出的方法在初始态和终态中振动量子数增加时的扩展性如何？
• RQ4 环状赫夫米安表述在多模玻色子高斯幺正算符矩阵元中的推广程度如何？
• RQ5 在每种模态中振动量子数较少的系统中，该方法提供了多大的实际加速？

主要发现

• 在具有N和M个量子的振动态之间跃迁的Franck-Condon因子，等价于计算一个P = N + M个顶点图的对称邻接矩阵的环状赫夫米安
• 环状赫夫米安计算的时间复杂度为O(P³2^{P/2})，在小P值时显著快于以往方法
• 该方法为量子化学中的FCF和量子光学中玻色子高斯幺正算符的矩阵元提供了一个统一的框架
• 该方法揭示了量子力学跃迁振幅与带环加权图中完美匹配之间的深刻数学联系
• 在每种模态中振动量子数较少的系统中，加速效果最为显著，因为指数项对P的依赖性被2^{P/2}因子缓解
• 通过利用图论算法，该框架能够高效计算原本在多模系统中难以处理的FCF