[论文解读] A Few More Quadratic APN Functions

Carl Bracken, Eimear Byrne+2 more|ArXiv.org|Apr 30, 2008

Coding theory and cryptography参考文献 11被引用 6

一句话总结

本文提出在 $\mathbb{F}_{2^{3k}}$ 上的两个新的无限族二次几乎完美非线性（APN）函数，其中 $k$ 不被 3 整除，推广了先前已知的族。通过计算不变量（如 delta 2-秩和最小权字组合结构），作者利用基于 Magma 的代码等价性测试，证明这些函数与所有已知的 APN 函数 CCZ 不等价，从而在 $n=12$ 及以上时确立了其新颖性。

ABSTRACT

We present two infinite families of APN functions where the degree of the field is divisible by 3 but not 9. Our families contain two already known families as special cases. We also discuss the inequivalence proof (by computation) which shows that these functions are new.

研究动机与目标

• 在 $\mathbb{F}_{2^{3k}}$ 上构造新的二次 APN 函数族，其中 $k$ 不被 3 整除。
• 证明这些函数与任何已知的 APN 函数（包括单项式和先前构造的族）均不 CCZ 等价。
• 将 APN 函数的分类拓展至已知的单项式与二项式族列表之外。
• 提供一种计算框架，用于在理论方法失效时验证 CCZ 不等价性。
• 表明新族可作为特殊情况推广现有族（如族 1、5、6），但在 CCZ 等价意义下仍保持独立。

提出的方法

• 提出四元多项式形式：$F(x) = u^{2^k}x^{2^{-k}+2^{k+s}} + ux^{2^s+1} + vx^{2^{-k}+1} + wu^{2^k+1}x^{2^{k+s}+2^s}$，并施加对 $k$、$s$、$u$、$v$、$w$ 的约束。
• 使用差分均匀性条件：对所有 $p,q \in \mathbb{F}_{2^n}$，$q \neq 0$，方程 $f(x+q)+f(x) = p$ 的解不超过 2 个，以验证 APN 性质。
• 应用等价性准则：两个函数 CCZ 等价当且仅当其关联的二元码（由输入-输出向量构建的校验矩阵）在 $\mathbb{F}_2$ 上等价。
• 使用 Magma 计算并比较不变量，如 delta 2-秩和最小权码字的组合结构，以检测 CCZ 不等价性。
• 对 $n=12$（$k=4$）使用回溯搜索和最小权码字上的自同构群作用测试等价性。
• 利用 $u$ 为本原元且 $k$ 不被 3 整除的事实，证明某些代数表达式不能是七次幂，从而证明 $\Delta(x)=0$ 的解位于 $\mathbb{F}_{2^k}$ 中。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $3 \nmid k$ 时，是否存在新的 $\mathbb{F}_{2^{3k}}$ 上的二次 APN 函数无限族？
• RQ2 能否证明这些新族与所有先前已知的 APN 函数均不 CCZ 等价？
• RQ3 新族是否可推广已知族（如二项式、三项式和四元多项式 APN 函数）作为特例？
• RQ4 当代码等价性测试不可行时，计算不变量（如 delta 2-秩和最小权字结构）能否区分 CCZ 不等价的 APN 函数？
• RQ5 在给定约束下，函数 $F(x) = u^{2^k}x^{2^{-k}+2^{k+s}} + ux^{2^s+1} + vx^{2^{-k}+1} + wu^{2^k+1}x^{2^{k+s}+2^s}$ 是否确实为 APN？

主要发现

• 本文在 $\mathbb{F}_{2^{3k}}$ 上为 $3 \nmid k$ 构造了两个新的二次 APN 函数无限族，给出了 $k$、$s$、$u$、$v$、$w$ 的显式参数约束。
• 四元多项式族（族 7）包含二项式（族 1）、三项式（族 5）和另一项三项式（族 6）作为特例。
• 对于 $n=12$，通过基于 Magma 的计算，证明了这四个族（包括特例）两两之间 CCZ 不等价。
• 计算了 $n=12$ 时四个函数关联码的 delta 2-秩：前三个为 7900，第四个为 7816，从而证明其不等价。
• 利用码的最小权字结构作为进一步的不变量，以区分函数，确认了 CCZ 不等价性，超越了仅依赖 delta 2-秩的判断。
• 作者得出结论：新函数与任何已知的 APN 函数（包括单项式、二项式或三项式类型）均不 CCZ 等价，从而确立了其新颖性。