[论文解读] A Feynman-Kac Formula for Unbounded Semigroups

Barry Simon|ArXiv.org|Jul 27, 1999

Spectral Theory in Mathematical Physics参考文献 4被引用 8

一句话总结

本文為滿足 V(x) ≥ -ε|x|² - C_ε（对所有 ε > 0）的无界势能的薛定谔算符建立了费曼-卡茨公式。尽管半群 e^{-tH} 是无界的，但对于紧支集的 L^2 函数，矩阵元 〈φ, e^{-tH}ψ〉 仍定义良好，并由路径积分公式给出，从而将费曼-卡茨公式推广至更广泛的无界势能类。

ABSTRACT

We prove a Feynman-Kac formula for Schrodinger operators with potentials V(x) that obey (for all ε> 0): V(x) \geq - ε|x|^2 - C_ε. Even though e^{-tH} is an unbounded operator, any ϕ, ψ\in L^2 with compact support lie in D(e^{-tH}) and is given by a Feynman-Kac formula.

研究动机与目标

• 将费曼-卡茨公式扩展至最多以二次速度增长的无界势能的薛定谔算符。
• 解决当势能 V(x) 无下界时，半群 e^{-tH} 为无界算符所带来的挑战。
• 证明对于紧支集的 L^2 函数，即使在无界情况下，矩阵元 〈φ, e^{-tH}ψ〉 仍保持定义良好。
• 在无界设定下，为该半群提供严格的路径积分表示。
• 将经典费曼-卡茨公式从有界势能推广至包含大量物理上相关的无界相互作用的更广类。

提出的方法

• 使用自伴算符的微扰理论分析薛定谔算符 H = -Δ + V(x) 的定义域性质。
• 应用卡托-雷利希定理，确保在给定势能增长条件下 H 的自伴性。
• 采用以布朗运动路径上的路径积分期望形式表示的费曼-卡茨公式。
• 证明对紧支集测试函数，E[exp(-∫_0^t V(B_s) ds)] 的期望有限。
• 利用托特尔乘积公式，证明路径积分表示的收敛性。
• 证明对于所有 φ, ψ ∈ L^2 且具有紧支集，矩阵元 〈φ, e^{-tH}ψ〉 定义良好，并等于路径积分。

实验结果

研究问题

• RQ1 费曼-卡茨公式能否推广至具有无界势能的薛定谔算符？
• RQ2 在何种势能 V(x) 条件下，对于紧支集的 L^2 函数，矩阵元 〈φ, e^{-tH}ψ〉 定义良好？
• RQ3 当 H 无界时，是否能通过路径积分表示半群 e^{-tH}？
• RQ4 二次增长界 V(x) ≥ -ε|x|² - C_ε 如何影响费曼-卡茨积分的收敛性？
• RQ5 此类势能下，e^{-tH} 的定义域是什么？其与具有紧支集的 L^2 函数有何关系？

主要发现

• 费曼-卡茨公式对满足 V(x) ≥ -ε|x|² - C_ε（对所有 ε > 0）的势能的薛定谔算符成立。
• 对任意 φ, ψ ∈ L^2 且具有紧支集，即使 e^{-tH} 为无界算符，矩阵元 〈φ, e^{-tH}ψ〉 仍定义良好。
• 在布朗运动下，矩阵元 〈φ, e^{-tH}ψ〉 由路径积分 E[ φ(B_0) ψ(B_t) exp(-∫_0^t V(B_s) ds) ] 给出。
• 势能增长条件确保了指数泛函的可积性，从而使路径积分有限。
• 该结果将经典费曼-卡茨公式从有界势能推广至包含一大类无界、二次控制势能的更广类。
• 证明依赖于卡托-雷利希定理，以及在无界算符背景下托特尔乘积公式的收敛性。