[论文解读] A Field Theory of Knotted Solitons

Robert J. Finkelstein|ArXiv.org|Jan 12, 2007

Advanced Topics in Algebra参考文献 1被引用 4

一句话总结

本文提出一种规范场论，统一了局域 $SU(2)\times U(1)$ 电弱对称性与纽结孤子的全局 $SU_q(2)$ 对称性，将基本费米子视为拓扑孤子（纽结通量管）。通过将量子场展开为 $SU_q(2)$-变形正则模式，该模型用纽结结构取代点粒子，当对变形参数施加约束时，可得到与标准模型一致的费米子质量和规范玻色子质量。

ABSTRACT

The conjecture that the elementary fermions are knotted flux tubes permit the construction of a phenomenology that is not accessible from the standard electroweak theory. In order to carry these ideas further we have attempted to formulate the elements of a field theory in which local SU(2) x U(1), the symmetry group of standard electroweak theory, is combined with global SU_q(2), the symmetry group of knotted solitons.

研究动机与目标

• 开发一种场论框架，将基本费米子建模为纽结孤子而非点粒子。
• 统一标准电弱理论的局域 $SU(2)\times U(1)$ 对称性与纽结孤子的全局 $SU_q(2)$ 对称性。
• 通过使用 $SU_q(2)$ 无退化表示变形标准场，构建在 $[\text{局域 } SU(2)\times U(1)] \otimes [\text{全局 } U(1)]$ 下不变的拉格朗日量。
• 通过约束 $q$-变形参数和真空期望值，再现规范玻色子与费米子的标准模型质量。

提出的方法

• 通过将规范场与希格斯场的正则模式替换为 $SU_q(2)$-变形矩阵元 $D^{j}_{mm'}(a,\bar{a},b,\bar{b})$，修改标准电弱拉格朗日量。
• $q$-变形通过非交换代数定义：$ab = qba$，$a\bar{a} + b\bar{b} = 1$，其中 $q_1 = q^{-1}$，且 $\langle n\rangle_1 = (q_1^{2n} - 1)/(q_1^2 - 1)$。
• 该理论构造为在 $[\text{局域 } SU(2)\times U(1)] \otimes [\text{全局 } U(1)]$ 下不变，通过 $U_a D^{j}_{mm'} = e^{iQ_a \varphi_a/k} D^{j}_{mm'}$ 在 $D^{j}_{mm'}$ 上诱导规范变换，其中 $Q_a \propto m + m'$。
• 费米子与规范玻色子的质量由真空期望值 $\langle 0| \bar{D}_\nu D^\nu |0\rangle$ 与 $\langle 0| \bar{D}_\nu \bar{\tau}_k \tau_k D_\nu |0\rangle$ 推导得出，归一化约束为 $I_{kk}/I = 1$（$k = +, -, 3$）。
• 希格斯质量项被修改为 $\bar{L} \varphi R + \bar{R} \bar{\varphi} L$，其中 $L$、$R$ 与 $\varphi$ 为外部标准模型表示与内部 $SU_q(2)$ 孤子态的张量积。
• 费米子质量计算为 $m_n(w,r) = \rho(w,r) \langle n| \bar{D}^{3/2}_{w/2, (r+1)/2} D^{3/2}_{w/2, (r+1)/2} |n\rangle$，其中 $D^{3/2}$ 为 $q$-变形矩阵元。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过 $SU_q(2)$ 变形一致地将标准模型的规范与希格斯规范场扩展以包含纽结孤子结构？
• RQ2 $q$-变形正则模式的量子场如何影响规范玻色子与费米子的质量谱？
• RQ3 为重现观测到的 $W$、$Z$ 玻色子与费米子质量，对变形参数 $q$ 与真空参数 $\beta$ 需施加何种约束？
• RQ4 在局域 $SU(2)\times U(1)$ 框架中引入非交换 $SU_q(2)$-变形场时，规范不变性如何保持？
• RQ5 能否从 $W^\pm$ 与 $Z$ 耦合的 $q$-变形结构中重现温伯格角？

主要发现

• 当施加归一化约束 $I_{kk}/I = 1$ 时，规范玻色子质量项被重现为 $\partial_\mu \bar{\rho} \partial^\mu \bar{\rho} + g^2 \bar{\rho}^2 [W_+^\mu W_{+\mu} + W_-^\mu W_{-\mu} + \frac{1}{\cos^2\theta} Z^\mu Z_\mu]$。
• 系数 $|c_-|^{-2} = |\beta|^6 \prod_{t=1}^3 (1 - q_1^{2t} |\beta|^2)$ 由真空期望值 $\langle 0| b^3 \bar{b}^3 \bar{a}^3 a^3 |0\rangle / \langle 0| b^3 \bar{b}^3 |0\rangle$ 推导得出，将 $W^+$ 耦合固定为 $q$ 与 $\beta$ 的函数。
• $W^-$ 耦合系数为 $|c_+|^{-2} = |\beta|^6 \prod_{t=0}^2 (1 - q^{2t} |\beta|^2)$，显示出明确的 $q$-依赖性。
• $Z$-玻色子耦合由 $|c_3|^{-2} = [f(|\beta|^2)]^2$ 确定，其中 $f(\bar{b}b) = D^3_{oo}$，为来自 $SU_q(2)$ 表示的 $q$-变形多项式。
• 费米子质量公式 $m_n(w,r) = \rho(w,r) \langle n| \bar{D}^{3/2}_{w/2, (r+1)/2} D^{3/2}_{w/2, (r+1)/2} |n\rangle$ 被推导出，将质量与孤子量子数及 $q$-变形联系起来。
• 通过 $\tan\theta = g_o/g$ 恢复温伯格角，与 $W^\pm$ 与 $Z$ 耦合的 $q$-变形结构一致。