[论文解读] A finite difference approximation of a two dimensional time fractional advection-dispersion problem

Carlos E. Mejía, Alejandro Piedrahita|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2018

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文提出了一种用于求解具有变系数的二维时间分数阶对流-弥散方程的隐式有限差分格式，其中分数阶导数采用Caputo定义，弥散项以非散度形式表示。在较弱假设下，该方法被证明是一致的、无条件稳定的，并且是收敛的，数值实验验证了在各种分数阶阶数和扩散系数下，空间二阶收敛、时间一阶收敛的特性。

ABSTRACT

Time fractional advection-dispersion equations arise as generalizations of classical integer order advection-dispersion equations and are increasingly used to model fluid flow problems through porous media. In this paper we develop an implicit finite difference method to solve a two-dimensional initial boundary value problem for the linear time fractional advection-dispersion equation with variable coefficients on a bounded domain. Consistency, stability and convergence of the method are proved in detail and the numerical experiments offer a good insight into the quality of the obtained approximations.

研究动机与目标

• 开发一种鲁棒的数值方法，用于利用具有变系数的时间分数阶对流-弥散方程模拟地下水中的污染物迁移。
• 构建一种隐式有限差分格式，以处理非散度形式的弥散项和Caputo时间分数阶导数。
• 在系数有界性的温和假设下，严格证明所提格式的一致性、无条件稳定性和收敛性。
• 提供一种通用且计算高效的矩阵框架以实现该方法。
• 通过全面的数值实验验证该格式，使用精确解测试不同分数阶阶数和扩散系数下的表现。

提出的方法

• 采用L1逼近法处理Caputo时间分数阶导数，如文献[6]中详细所述。
• 对空间对流项和弥散项应用中心差分格式，其中系数为变系数 a(x,y,t), b(x,y,t), c(x,y,t), 和 d(x,y,t)。
• 在均匀矩形单元网格上构建格式，空间步长为 Δx, Δy，时间步长为 Δt，每一步通过求解线性系统实现时间推进。
• 开发了一种基于矩阵的计算框架，以高效地组装和求解所得的线性系统，从而实现对各类问题的推广。
• 利用能量法分析稳定性和收敛性，证明依赖于系数函数的有界性以及L1格式的性质。
• 将该方法应用于三个数值算例：一个具有光滑精确解的算例，以及两个具有不同扩散系数和分数阶阶数的算例，以检验其鲁棒性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有变系数的二维时间分数阶对流-弥散方程（非散度形式）构造一个无条件稳定且收敛的有限差分格式？
• RQ2 该格式在不同分数阶阶数 α ∈ (0,1) 和不同扩散系数下的收敛速率如何表现？
• RQ3 所提出的基于矩阵的框架是否能够实现对不同边界条件和源项条件的高效且通用的实现？
• RQ4 在小扩散系数极限下，即接近退化抛物型情形时，该格式表现如何？
• RQ5 在缺乏精确解的情况下，分数阶阶数 α 对解的分布形态有何影响？

主要发现

• 所提出的有限差分格式在系数函数有界性的温和假设下，被证明是一致的、无条件稳定的，并且是收敛的。
• 数值实验表明，所有测试的分数阶阶数 α = 0.1, 0.5, 和 0.9 下，空间二阶收敛、时间一阶收敛。
• 在示例4.1（具有光滑解）中，随着网格加密，空间收敛阶趋近于2.0，时间收敛阶趋近于1.0，与理论预期一致。
• 在示例4.2（扩散系数极小，ε = 1e-5）中，该格式保持了鲁棒的收敛行为，即使在接近退化的情形下也表现出稳定性。
• 在示例4.3中，由于不存在精确解，计算结果表明解对分数阶阶数 α 具有连续依赖性，解在 t = 1 时从 α = 0.3 平滑演化至 α = 0.9。
• 矩阵框架实现了高效的实现，并在先前的逆源问题中成功复用，证实了其实际应用价值。