[论文解读] A Finite Difference Scheme based on Cubic Trigonometric B-splines for Time Fractional Diffusion-wave Equation

Muhammad Abbas|arXiv (Cornell University)|May 23, 2017

Fractional Differential Equations Solutions被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于三次三角B样条的新型有限差分格式，用于求解带有反应项的时间分数阶扩散-波动方程。通过将Caputo时间分数阶导数的标准有限差分近似与空间方向的三次三角B样条离散化相结合，该方法实现了高达10⁻¹¹的高精度和无条件稳定性，其在精度和计算效率方面均优于现有的Hermite方法和径向基函数方法。

ABSTRACT

In this paper, we propose an efficient numerical scheme for the approximate solution of the time fractional diffusion-wave equation with reaction term based on cubic trigonometric basis functions. The time fractional derivative is approximated by the usual finite difference formulation and the derivative in space is discretized using cubic trigonometric B-spline functions. A stability analysis of the scheme is conducted to confirm that the scheme does not amplify errors. Computational experiments are also performed to further establish the accuracy and validity of the proposed scheme. The results obtained are compared with a finite difference schemes based on the Hermite formula and radial basis functions. It is found that our numerical approach performs superior to the existing methods due to its simple implementation, straight forward interpolation and very less computational cost.

研究动机与目标

• 开发一种针对带有反应项的时间分数阶扩散-波动方程的高精度数值格式。
• 解决缺乏精确解析解的分数阶微分方程求解挑战。
• 通过提升精度并降低计算成本，改进现有的有限差分和无网格方法。
• 通过严格的分析确保数值稳定性，尤其适用于长时间模拟。
• 与现有格式（如基于Hermite公式和径向基函数的方法）相比，展示出优越性能。

提出的方法

• 采用标准二阶有限差分公式对阶数为γ（1 < γ ≤ 2）的Caputo时间分数阶导数进行近似。
• 利用三次三角B样条基函数对空间导数进行离散化，该方法提供C²连续性并具有最小支撑。
• 在每个时间步长上通过迭代方式求解所得方程组，利用B样条的局部逼近特性。
• 采用Von Neumann型方法进行稳定性分析，证实该格式具有无条件稳定性。
• 在配点框架中实现该方法，其中解表示为三次三角B样条函数的线性组合。
• 通过三个具有已知精确解的基准算例进行数值验证，以评估精度和收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于三次三角B样条的有限差分格式是否能在时间分数阶扩散-波动方程求解中实现高于现有方法的精度？
• RQ2 所提出的格式是否具有无条件稳定性？其稳定性与如Hermite方法等条件稳定格式相比如何？
• RQ3 该方法在不同分数阶阶数γ下的计算成本和收敛速率表现如何？
• RQ4 与标准有限差分方法相比，使用三角B样条在插值精度和解的光滑性方面有多大提升？
• RQ5 该格式是否能在不同γ值和边界条件下，保持高精度（例如10⁻¹¹）？

主要发现

• 在示例1中，该格式的最大绝对误差达到10⁻¹¹，显著优于基于Hermite方法的10⁻⁵精度。
• 通过Von Neumann稳定性分析确认该格式具有无条件稳定性，而文献[14]中的方法为条件稳定。
• 在示例2中，数值解在不同γ值下与精确解u(x,t) = t²x(1−x)高度吻合，当N=60且Δt=0.001时，绝对误差始终低于10⁻¹⁰。
• 在示例3中，该方法准确捕捉了精确解u(x,t) = t²sinh(x)，误差分布显示在各时间层上均保持一致的收敛性。
• 在示例2和示例3中，数值解与精确解的三维图几乎完全重合，证实了其在空间和时间方向上的高精度。
• 与径向基函数方法在表7至表9中的对比结果表明，所提格式产生的绝对误差更低，且收敛行为更优。