[论文解读] A Finite Element Framework for Option Pricing with the Bates Model

Edie Miglio, Carlo Sgarra|ArXiv.org|Dec 16, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文提出了一种有限元方法（FEM），用于在带跳的Bates随机波动率模型下定价欧式期权，将定价问题表述为抛物型积分微分方程（PIDE）。该方法具有高精度和强鲁棒性，数值结果与基准快速傅里叶变换（FFT）方法高度一致（偏差小于0.1%），验证了其在跳跃扩散动力学下的复杂期权定价中的有效性。

ABSTRACT

In the present paper we present a finite element approach for option pricing in the framework of a well-known stochastic volatility model with jumps, the Bates model. In this model the asset log-returns are assumed to follow a jump-diffusion model where the jump component consists of a Levy process of compound Poisson type, while the volatility behavior is described by a stochastic differential equation of CIR type, with a mean-reverting drift term and a diffusion component correlated with that of the log-returns. Like in all the Levy models, the option pricing problem can be formulated in terms of an integro-differential equation: for the Bates model the unknown F(S, V, t) (the option price) of the pricing equation depends on three independent variables and the differential operator part turns out to be of parabolic kind, while the nonlocal integral operator is calculated with respect to the Levy measure of the jumps. In this paper we will present a variational formulation of the problem suitable for a finite element approach. The numerical results obtained for european options will be compared with those obtained with different methods.

研究动机与目标

• 开发一种稳定且精确的有限元方法，用于求解Bates模型下期权定价所涉及的偏积分微分方程（PIDE）。
• 解决由于Lévy跳跃和随机波动率导致的三维PIDE中非局部积分算子的数值求解挑战。
• 提供一种适用于有限元离散化的变分形式，实现灵活且自适应的空间逼近。
• 在多种参数组合下，将所提出的FEM方法与成熟的基于FFT的方法进行验证，以评估其在欧式期权定价中的表现。
• 为通过自由边界问题将该方法扩展至美式期权定价奠定基础。

提出的方法

• 作者推导了Bates模型中控制期权价格的PIDE的变分形式，将问题转化为适合Galerkin有限元方法的弱形式。
• 空间域采用在非结构化三角形网格上的分片多项式有限元进行离散化，网格包含2634个单元和1398个节点。
• 时间离散化采用隐式格式，以确保PIDE抛物分量的稳定性。
• 由复合泊松跳跃引起的非局部积分算子通过在Lévy测度上使用求积规则进行近似。
• 所得线性系统通过迭代方法求解，该方法在各种参数区域内均表现出高效性和鲁棒性。
• 该方法在到期期限最长为3年、行权价在80至120之间的欧式看涨期权上进行了测试。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为带跳和随机波动率的Bates模型中的PIDE有效构建并实现有限元方法？
• RQ2 与基准FFT方法相比，FEM在欧式期权定价中的精度和收敛性如何？
• RQ3 关键模型参数（特别是波动率扩散系数（θ）、相关性（ρ）和跳跃强度（λ））对隐含波动率曲面有何影响？
• RQ4 FEM方法在Bates模型下期权定价中的计算效率如何？
• RQ5 有限元框架能否通过自由边界问题扩展至美式期权定价？

主要发现

• 有限元方法计算出的期权价格与FFT结果高度一致，所有测试参数集下的最大相对偏差小于0.1%。
• 该方法成功捕捉了隐含波动率曲面中的波动率微笑和偏斜特征，尤其在短期期限和负相关性（ρ）情况下表现明显。
• 对于参数集S₂和S₃，波动率曲面表现出显著的偏斜，而S₁和S₄的偏斜不明显，表明对扩散系数θ和相关性ρ具有敏感性。
• 该方法在广泛参数范围内表现稳健，在四组不同的校准参数集（S₁至S₄）中均保持一致性能。
• 计算成本适中：单个期权价格约需3分钟，完整波动率曲面约需3小时，运行环境为2GHz双核处理器和1MB内存。
• 有限元方法在扩展至美式期权定价方面展现出强大潜力，美式期权定价被表述为同一PIDE的自由边界问题。